Questão 88 - 1ª Fase - Unesp 2025

Considere a rotação de 180° do triângulo abaixo em torno da reta r:

O sólido de revolução gerado será metade do sólido abaixo, formado por dois cones:

Utilizando as relações métricas no triângulo retângulo, tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{hip}}^2 = {15}^2 + {20}^2 \Rightarrow \mathrm{hip} = 25 \Rightarrow \mathrm{m} + \mathrm{n} = 25 \mathrm{cm} \\ \mathrm{a} · \mathrm{h} = \mathrm{b} · \mathrm{c} \Rightarrow 25 · \mathrm{R} = 15 · 20 \Rightarrow \mathrm{R} = 12 \mathrm{cm} \end{gathered}$$

Calculando o volume de metade desse sólido, tem-se:

$$\begin{gathered} \mathrm{V} = \frac{1}{2} · \left({\mathrm{V}}_{\mathrm{cone}1} + {\mathrm{V}}_{\mathrm{cone}2}\right) = \frac{1}{2} · \left(\frac{1}{3} · \mathrm{\pi } · {\mathrm{R}}^2 · \mathrm{m} + \frac{1}{3} · \mathrm{\pi } · {\mathrm{R}}^2 · \mathrm{n}\right) \\ \mathrm{V} = \frac{1}{2} · \frac{1}{3} · \mathrm{\pi } · {\mathrm{R}}^2 · (\mathrm{m} + \mathrm{n}) = \frac{1}{2} · \frac{1}{3} · \mathrm{\pi } · {12}^2 · 25 \\ \mathrm{V} = 600\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^3 \end{gathered}$$

Realizando o mesmo processo com a segunda metade do triângulo original que foi revolucionado, tem-se o mesmo sólido, apenas em outra orientação. Assim, a segunda metade terá o mesmo volume da primeira. Ou seja, pode-se afirmar que o sólido final gerado pela revolução de 180° das duas metades é igual a:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{total}} = 2 · \mathrm{V} = 2\hspace{0.17em}600\mathrm{\pi } \Rightarrow \boxed{{\mathrm{V}}_{\mathrm{total}} = 1\hspace{0.17em}200\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^3}$