Questão 28 - Prova Geral e Medicina - PUC Campinas 2025

Considere o triângulo ABN, como indicado na figura a seguir: 

Nota-se que, como N é o ponto médio do segmento CD, BN é a mediana do triângulo BCD relativa ao vértice B, mas como o triângulo BCD é equilátero, a mediana é igual a altura. Portanto, a medida do segmento BN é $\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.

O mesmo ocorre com o segmento AN do triângulo ACD, ou seja, a medida do segmento AN é $\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.

Como o triângulo ABN é isósceles, a mediana MN também é a altura do triângulo ABN relativa ao vértice N. 

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo AMN, tem-se:

$3^2+{\mathrm{MN}}^2={\left(3\sqrt{3}\right)}^2\Rightarrow {\mathrm{MN}}^2=9·3-9=18\Rightarrow \mathrm{MN}=\sqrt{18}=\boxed{3\sqrt{2}}$