Questão 25 - Prova Geral e Medicina - PUC Campinas 2025

Para resolver a expressão $\frac{2\mathrm{x} \left[1 + 2 + 3 + \dots + \left(2\mathrm{x} - 1\right)\right]}{4\mathrm{x} \left[\left(2\mathrm{x} + 1\right) + \left(2\mathrm{x} + 2\right) + \left(2\mathrm{x} + 3\right) + \dots + \left(4\mathrm{x} - 1\right)\right]}$, observe que, dentro do colchete do numerador, tem-se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, na qual o primeiro termo é ${\mathrm{a}}_1=1$, o último termo é ${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=2\mathrm{x} – 1$ e a quantidade de termos é $\mathrm{n} = 2\mathrm{x} – 1$. Assim, lembrando que a soma dos n primeiros termos PA é dada por ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\left({\mathrm{a}}_1 + {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right) · \mathrm{n}}{2}$, então:

$1 + 2 + 3 + \dots + \left(2\mathrm{x} - 1\right) = \frac{\left(1 + 2\mathrm{x} - 1\right) · \left(2\mathrm{x} - 1\right)}{2} = \mathrm{x} · \left(2\mathrm{x} - 1\right)$.

Agora, dentro do colchete do denominador, tem-se outra soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, na qual o primeiro termo é ${\mathrm{a}}_1= 2\mathrm{x} + 1$, o último termo é ${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=4\mathrm{x}-1$ e a quantidade de termos é $\mathrm{n} = 2\mathrm{x} – 1$. Então:

$\left(2\mathrm{x} + 1\right) + \left(2\mathrm{x} + 1\right) + \left(2\mathrm{x} + 3\right) + \dots + \left(4\mathrm{x} + 1\right)=\frac{\left(2\mathrm{x} + 1 + 4\mathrm{x} - 1\right) · \left(2\mathrm{x} - 1\right)}{2} = 3\mathrm{x} · \left(2\mathrm{x} - 1\right).$

Portanto,

$\frac{2\mathrm{x} \left[1 + 2 + 3 + \dots + \left(2\mathrm{x} - 1\right)\right]}{4\mathrm{x} \left[\left(2\mathrm{x} + 1\right) + \left(2\mathrm{x} + 2\right) + \left(2\mathrm{x} + 3\right) + \dots + \left(4\mathrm{x} - 1\right)\right]}=\frac{2\mathrm{x} · \mathrm{x} · \left(2\mathrm{x} - 1\right)}{4\mathrm{x} · 3\mathrm{x} · \left(2\mathrm{x} - 1\right)}=\frac{2}{12}=\boxed{\frac{1}{6}}$.