Questão 23 - Prova Geral Medicina - PUC Campinas 2026

A trajetória do salto é dada pela função $\mathrm{y} = \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{ax}}^2 + \mathrm{bx} + \mathrm{c}$ e passa pelos pontos $\mathrm{Q} = (-2, 1)$, $\mathrm{R} = \left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ e $\mathrm{s} = (1, 1)$.

Substituindo as coordenadas desses pontos na função quadrática, obtém-se o seguinte sistema de equações:

$\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{a} - 2\mathrm{b} + \mathrm{c} = 1\\ \frac{\mathrm{a}}{4}- \frac{\mathrm{b}}{2} + \mathrm{c} =4\\ \mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c} = 1 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{a} - 2\mathrm{b} + \mathrm{c} = 1\\ \mathrm{a} -2\mathrm{b} + 4\mathrm{c} = 16\\ \mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c} = 1\end{array}\right.$

Multiplicando a primeira linha por 4 e subtraindo da segunda linha, obtém-se:

$15\mathrm{a} - 6\mathrm{b} = -12$

Fazendo a primeira linha subtraída da terceira linha, obtém-se $3\mathrm{a} - 3\mathrm{b} = 0 \Rightarrow \mathrm{a} = \mathrm{b}$.

Fazendo a primeira linha subtraída da terceira linha $15\mathrm{a} - 6\mathrm{b} = -12$, tem-se $9\mathrm{a} = -12 \Rightarrow \mathrm{a} = \mathrm{b} = -\frac{4}{3}$, e substituindo na terceira linha, obtém-se $-\frac{8}{3}+ \mathrm{c}=1 \Rightarrow \mathrm{c}=\frac{11}{3}$.

Portanto, a função quadrática é da forma $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) = -\frac{4}{3}{\mathrm{x}}^2 - \frac{4}{3}\mathrm{x} + \frac{11}{3}$.

As raízes dessa equação podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara:

$∆ ={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}=\frac{192}{9}$ e $\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\pm {\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}}{-{\displaystyle \frac{8}{3}}}= \frac{4 \pm 8\sqrt{3}}{-8}-\frac{1}{2} \pm \sqrt{3}.$

A abscissa do ponto T representa a raiz positiva de h, assim, $\mathrm{T} = \left(-\frac{1}{2}+\sqrt{3}, 0\right)$.

A distância d solicitada é $\mathrm{d} = -\frac{1}{2}+ \sqrt{3} - (-2) = \frac{3}{2} + \sqrt{3}=\frac{3 + 2\sqrt{3}}{2}$.