Dissertativa 7 - 2ª Fase - Dia 2 - Unicamp 2026

a) A função ${\mathrm{h}}_1\left(\mathrm{x}\right) = \cos \left(5\mathrm{x}\right)$ possui período ${\mathrm{p}}_1$ igual a:

${\mathrm{p}}_1=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|\mathrm{m}\right|} \to {\mathrm{p}}_1=\frac{2\mathrm{\pi }}{5}$

A função ${\mathrm{h}}_2\left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{sen}\left(\frac{\mathrm{x}}{7}\right)$ possui período ${\mathrm{p}}_2$ igual a:

${\mathrm{p}}_2=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|\mathrm{m}\right|} \to {\mathrm{p}}_2=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left(\frac{1}{7}\right)} \to {\mathrm{p}}_2=14\mathrm{\pi }$

Como a função $\mathrm{h} \left(\mathrm{x}\right)$ é igual a soma das funções ${\mathrm{h}}_1 \left(\mathrm{x}\right) + {\mathrm{h}}_2 \left(\mathrm{x}\right)$, pode-se afirmar que $\mathrm{h} \left(\mathrm{x}\right)$também é periódica. Isso é válido desde que a razão entre os períodos seja um número racional, neste caso, $\frac{14\mathrm{\pi }}{\left({\displaystyle \frac{2\mathrm{\pi }}{5}}\right)}= 35$. Isso garante que, se ${\mathrm{h}}_1 \left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{h}}_1 (\mathrm{x} + {\mathrm{kT}}_1)$ e ${\mathrm{h}}_2 \left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{h}}_2 (\mathrm{x} + {\mathrm{mT}}_2)$, existe um valor comum para m e k de modo que ${\mathrm{kT}}_1 = {\mathrm{mT}}_2$ . Como ${\mathrm{p}}_1 = 2 · \frac{\mathrm{\pi }}{5}$  e  ${\mathrm{p}}_2 = 70 · \frac{\mathrm{\pi }}{5}$, tem-se:

$\mathrm{m} · \mathrm{m} · \mathrm{c} · \left(\mathrm{m}; \mathrm{k}\right) = \mathrm{m} · \mathrm{m} · \mathrm{c} · \left(2; 70\right) = 70 \to \mathrm{T}=70 · \frac{\mathrm{\pi }}{5} = 14\mathrm{\pi }$

Portanto, a função $\mathrm{h} \left(\mathrm{x}\right)$ é periódica de período $\mathrm{T} = 14\mathrm{\pi }$. Ou seja, $\mathrm{h} \left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{h} (\mathrm{x} + 14\mathrm{\pi })$.

b) Se $\mathrm{p} \left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^2 - 1$, tem-se:

$\mathrm{p} \left(\mathrm{x} + \mathrm{T}\right) = {\left(\mathrm{x} + \mathrm{T}\right)}^2-1 = {\mathrm{x}}^2+ 2\mathrm{T} · \mathrm{x} + {\mathrm{T}}^2 -1$

Para que a função seja periódica, tem-se:

$\mathrm{p} \left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{p} \left(\mathrm{x} + \mathrm{T}\right) \to {\mathrm{x}}^2-1 = {\mathrm{x}}^2 + 2\mathrm{T} · \mathrm{x} + {\mathrm{T}}^2 - 1$

Para que a identidade polinomial seja verdadeira para qualquer valor de x, tem-se:

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{T} = 0\\ {\mathrm{T}}^2 - 1 = -1\end{array}\right.\to \mathrm{T} = 0$

Para que a função seja periódica, tem-se $\mathrm{T} > 0$, ou seja, T não pode assumir o valor 0. Logo, essa função não é periódica.