Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 2 - Unicamp 2026

a) Uma vez que P é um ponto qualquer da parábola, $\mathrm{P}=\left(\mathrm{a}; \frac{{\mathrm{a}}^2}{4}\right)$. Como Q é o ponto de interseção da reta r com uma reta perpendicular à reta r e que passa pelo ponto $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}=\left(\mathrm{a}; -1\right)$.

I) Distância entre P e Q:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}-(-1)\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}}=\sqrt{{\left(0\right)}^2+{\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}+1\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}+1 \end{gathered}$$

II) Distância entre P e A:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-0\right)}^2 + {\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}-1\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+\frac{{\mathrm{a}}^4}{16}-\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}+1} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{a}}^4}{16}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}+1} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}=\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}+1\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}+1 \end{gathered}$$

Portanto:

$\boxed{{\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}}={\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}}$

b) Para que o triângulo APQ seja equilátero, ${\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}={\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}}={\mathrm{d}}_{\mathrm{QA}}$. Assim, tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{QA}}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-0\right)}^2+{(-1-1)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{QA}}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+4} \end{gathered}$$

Como ${\mathrm{d}}_{\mathrm{QA} }={\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}:$

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{a}}^2}{4}+1=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+4} \\ \frac{{\mathrm{a}}^4}{16}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}+1={\mathrm{a}}^2+4 \\ {\mathrm{a}}^4-8{\mathrm{a}}^2-48=0 \end{gathered}$$

Fazendo a substituição ${\mathrm{a}}^2=\mathrm{x}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}-48=0 \\ \mathrm{x}=12 \mathrm{ou} \mathrm{x}=-4 \end{gathered}$$

Assim,

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^2=12 \mathrm{ou} {\mathrm{a}}^2=-4 (\mathrm{não} \mathrm{convém}) \\ \boxed{\mathrm{a}=\pm 2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Logo, os pontos são $(-2\sqrt{3}; 3)$ e $(2\sqrt{3}; 3)$.