Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 2 - Unicamp 2026

a) Uma vez que P é um ponto qualquer da parábola, $P = \left(a; \frac{a^2}{4}\right)$. Como Q é o ponto de interseção da reta r com uma reta perpendicular à reta r e que passa pelo ponto $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q} = (\mathrm{a}; -1)$.

I) Distância entre P e Q:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}} = \sqrt{(\mathrm{a} - {\mathrm{a}}^2 + {\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4} - (-1)\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}} = \sqrt{{\left(0\right)}^2 + {\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}+ 1\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}} = \frac{{\mathrm{a}}^2}{4} + 1 \end{gathered}$$

II) Distância entre P e A:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}} = \sqrt{{\left(\mathrm{a}- 0\right)}^2 + {\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4} - 1\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}} = \sqrt{{\mathrm{a}}^2 + \frac{{\mathrm{a}}^4}{16} - \frac{{\mathrm{a}}^2}{2} + 1} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}} = \sqrt{\frac{{\mathrm{a}}^4}{16} + \frac{{\mathrm{a}}^2}{2} + 1} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}} = \sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{4} + 1\right)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}} = \frac{{\mathrm{a}}^2}{4} + 1 \end{gathered}$$

$\therefore {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}} = {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}$

b) Para que o triângulo APQ seja equilátero, ${\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}} = {\mathrm{d}}_{\mathrm{PQ}} = {\mathrm{d}}_{\mathrm{QA}}$. Assim, temos:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}_{\mathrm{QA}} = \sqrt{{\left(\mathrm{a} - 0\right)}^2 + {(-1 -1)}^2} \\ {\mathrm{d}}_{\mathrm{QA}} = \sqrt{{\mathrm{a}}^2 + 4} \end{gathered}$$

Como ${\mathrm{d}}_{\mathrm{QA} }= {\mathrm{d}}_{\mathrm{PA}}:$

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{a}}^2}{4} + 1 = \sqrt{{\mathrm{a}}^2 + 4} \\ \frac{{\mathrm{a}}^2}{4} + \frac{{\mathrm{a}}^2}{2} + 1 = {\mathrm{a}}^2 + 4 \end{gathered}$$

Fazendo a substituição ${\mathrm{a}}^2 = \mathrm{x}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2 - 8\mathrm{x} - 48 = 0 \\ \mathrm{x} = 12 \mathrm{ou} \mathrm{x} = - 4 \end{gathered}$$

Assim,

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^2 = 12 \mathrm{ou} {\mathrm{a}}^2 = -4 (\mathrm{não} \mathrm{convém}) \\ \therefore \mathrm{a}= \pm 2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Logo, os pontos são: $(-2\sqrt{3}; 3)$ e $(2\sqrt{3}; 3)$.