Questão 8 - 1ª Fase - IME 2027

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Gabarito

Geral
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31. 31C
32. 32A
33. 33B
34. 34D
35. 35E
36. 36C
37. 37A
38. 38B
39. 39E
40. 40C

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 8

Objetiva

Seja a equação $9^{x} - 4 \cdot 5^{x - \frac{1}{2}} = 5^{x + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 x - 1}$ . O seu conjunto solução contém:

Alternativas

A
nenhum elemento.
B
um número real positivo e mais nenhum outro elemento.
C
um número real negativo e mais nenhum outro elemento.
D
um número real negativo, um número real positivo e mais nenhum outro elemento.
E
dois números reais positivos e mais nenhum outro elemento.

Gabarito:
B

Tem-se:

$\begin{matrix} 9^{x} - 4 \cdot 5^{x - \frac{1}{2}} = 5^{x + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 x - 1} \\ 9^{x} - 4 \cdot \frac{5^{x}}{5^{\frac{1}{2}}} = 5^{x} \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{9^{x}}{3} \\ 9^{x} + 2 \cdot \frac{9^{x}}{3} = 5^{x} \cdot 5^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot \frac{5^{x}}{5^{\frac{1}{2}}} \\ 9^{x} (1 + \frac{2}{3}) = 5^{x} (\sqrt{5} + \frac{4}{\sqrt{5}}) \\ 9^{x} \cdot \frac{5}{3} = 5^{x} \cdot \frac{9}{\sqrt{5}} \\ \frac{9^{x}}{5^{x}} = \frac{27}{5 \sqrt{5}} = \frac{9^{3 / 2}}{5^{3 / 2}} \\ x = \frac{3}{2} \end{matrix}$

Assim, $(x) = \frac{3}{2}$ .

Então a equação apresenta uma única solução real e positiva.

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