Questão 6 - 1ª Fase - IME 2027

A região dada por $\left|\mathrm{z}-\left(-1+\mathrm{i}\right)\right|+\left|\mathrm{z}-\left(3+4\mathrm{i}\right)\right|\le 7$ é o conjunto de pontos $\mathrm{z}=\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ que tem soma das distâncias $\mathrm{A}=-1+\mathrm{i}=\left(-1;1\right)$ e $\mathrm{B}=3+4\mathrm{i}=\left(3;4\right)$ menor ou igual a 7, ou seja, é o interior de uma elipse de focos A e B e eixo maior $2\mathrm{a}=7$.

A distância focal é dada por:

$2\mathrm{c}=\mathrm{AB}=\sqrt{{\left(3=\left(-1\right)\right)}^2+{\left(4-1\right)}^2}=5\to \mathrm{c}=\frac{5}{2}$

O semieixo menor é dado por:

${\mathrm{b}}^2={\mathrm{a}}^2- {\mathrm{c}}^2={\left(\frac{7}{2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{49-25}{4}=6\to \mathrm{b}=\sqrt{6}$

A reta que contém os focos A e B tem coeficiente angular igual a $\frac{4-1}{3-\left(-1\right)}=\frac{3}{4}$.

A reta que passa pelos pontos $\left(1;-1\right)$ e $\left(-2;3\right)$ tem coeficiente angular igual a $\frac{3-\left(-1\right)}{-2-1}=-\frac{4}{3}$, sendo perpendicular à reta que contém A e B, pois $\frac{3}{4}·\left(-\frac{4}{3}\right)=-1$.

Portanto, o retângulo que circunscreve a elipse tem lados paralelos aos eixos da elipse e área dada por:

 $2\mathrm{a}·2\mathrm{b}=7·2\sqrt{6}=\boxed{14\sqrt{6}}$