Questão 7 - 1ª Fase - IME 2027

Seja ${\mathrm{P}}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{x}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{k}}$. Se suas raízes são $\mathrm{\alpha }$ e $\mathrm{\beta }$, pode-se escrever:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{x}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{k}}={\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x}-\mathrm{\alpha })(\mathrm{x}-\mathrm{\beta })$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{k}}(-1)={\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{k}}={\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}(-1-\mathrm{\alpha })(-1-\mathrm{\beta })$

$\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{k}}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}=(1+\mathrm{\alpha })(1+\mathrm{\beta })$

Seja E a expressão pedida. Assim:

$\mathrm{E}=\sqrt{\left(\frac{{\mathrm{a}}_1-{\mathrm{b}}_1+{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{a}}_1}\right)\left(\frac{{\mathrm{a}}_2-{\mathrm{b}}_2+{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{a}}_2}\right)\left(\frac{{\mathrm{a}}_3-{\mathrm{b}}_3+{\mathrm{c}}_3}{{\mathrm{a}}_3}\right)}$

$\mathrm{E}=\sqrt{(1+{\mathrm{r}}_1)(1+{\mathrm{r}}_2)(1+{\mathrm{r}}_2)(1+{\mathrm{r}}_3)(1+{\mathrm{r}}_1)(1+{\mathrm{r}}_3)}=\sqrt{{\left[(1+{\mathrm{r}}_1)(1+{\mathrm{r}}_2)(1+{\mathrm{r}}_3)\right]}^2}$

$\boxed{\mathrm{E}=\left|(1+{\mathrm{r}}_1)(1+{\mathrm{r}}_2)(1+{\mathrm{r}}_3)\right|}$

Observação: o enunciado não dá meios para afirmar que o produto $(1+{\mathrm{r}}_1)(1+{\mathrm{r}}_2)(1+{\mathrm{r}}_3)$ é positivo. Portanto, a rigor, a alternativa C, pretendida pela banca, deveria estar dentro de um módulo.