Questão 26 - 1ª Fase - IME 2027

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Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 26

Objetiva

Uma corda perfeitamente flexível e inextensível está com suas extremidades presas a dois pontos, separados pela distância $2 L$ , no teto horizontal de uma sala. A curva feita pela corda é conhecida na estatística como catenária, sendo dada por:

$y (x) = (e^{x / b} + e^{- x / b}) . b / 2$

onde $b$ é uma constante que depende de dimensões do aparato montado.

Dados:

$- L \leq x \leq + L$ ;
$\tan θ (x) = (e^{x / b} - e^{- x / b}) / 2$ ;
densidade linear da corda: constante;
comprimento total da corda: $S$ ;
aceleração da gravidade: $g$ ;

Dica:

obtenha equações de equilíbrio estático na corda como um todo e depois em metade da corda.

O valor local mínimo da velocidade de um pulso ondulatório transversal é:

Alternativas

A
$\sqrt{\frac{1}{2} S g (e^{L / b} - e^{- L / b})}$
B
$\sqrt{S g (e^{L / b} - e^{- L / b})}$
C
$\frac{1}{2} \sqrt{S g {(e^{L / b} - e^{- L / b})}^{- 1}}$
D
$\sqrt{S g {(e^{L / b} - e^{- L / b})}^{- 1}}$
E
$\frac{1}{2} \sqrt{S g (e^{L / b} - e^{- L / b})}$

Gabarito:
D

Equilíbrio horizontal do trecho destacado, entre o ponto mais baixo e um ponto de abscissa x:

$T (x) \cos θ (x) = T_{0} \Rightarrow T (x) = \frac{T_{0}}{cosθ (x)} (I)$

Logo, a tração é mínima onde $\cos θ = 1$ , isto é, no ponto mais baixo.

Da equação de Taylor, sendo $μ$ a densidade linear da corda:

$v_{mín} = \sqrt{\frac{T_{0}}{μ}} (II)$

Equilíbrio vertical da corda inteira, sendo $T_{L}$ e $θ_{L}$ a tração e o ângulo em x = L:

$2 T_{L} sen θ_{L} = μSg (III)$

De (I) em x = L e (III):

$2 T_{0} \tan θ_{L} = μSg \Rightarrow T_{0} = \frac{μSg}{2 \tan θ_{L}} \Rightarrow T_{0} = \frac{μSg}{e^{\frac{L}{b}} - e^{\frac{- L}{b}}}$

Substituindo em (II):

$v_{mín} = \sqrt{Sg {(e^{\frac{L}{b}} - e^{\frac{- L}{b}})}^{- 1}}$

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