Questão 11 - 1ª Fase - IME 2027

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Gabarito

Geral
1. 1C
2. 2B
3. 3C
4. 4B
5. 5D
6. 6D
7. 7C
8. 8B
9. 9B
10. 10B
11. 11A
12. 12A
13. 13B
14. 14C
15. 15C
16. 16E
17. 17C
18. 18B
19. 19E
20. 20E
21. 21B
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25. 25C
26. 26D
27. 27A
28. 28B
29. 29D
30. 30D
31. 31C
32. 32A
33. 33B
34. 34D
35. 35E
36. 36C
37. 37A
38. 38B
39. 39E
40. 40C

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 11

Objetiva

Seja o polígono formado pelos vértices $(x, y)$ que satisfazem as equações

$y = \frac{2025}{x} e y^{2} = - x^{2} + 10145$

com $x e y \in ℝ^{*}$ . Em relação ao polígono é correto afirmar que:

Alternativas

A
suas duas diagonais passam pela origem.
B
seus ângulos internos somam 180 graus.
C
seu círculo circunscrito tem raio inferior a 100.
D
ele possui um total de 5 diagonais.
E
ele inexiste, pois há apenas dois pontos $(x, y)$ distintos.

Gabarito:
A

As relações $y = \frac{2 025}{x}$ e $x^{2} + y^{2} = 10 145$ representam respectivamente uma hipérbole equilátera rotacionada de $45^{°}$ e uma circunferência centrada na origem. Elas possuem 4 intersecções da forma:

$A = (α, \frac{2 025}{α}), B = (\frac{2 025}{α}, α), C = (- α, - \frac{2 025}{α}), D = (- \frac{2 025}{α}, - α)$

O polígono é um quadrilátero que tem as diagonais AC e BD formadas por pontos simétricos em relação à origem. Logo, as diagonais do polígono passam pela origem.

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