Questão 12 - 1ª Fase - IME 2027

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Gabarito

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34. 34D
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36. 36C
37. 37A
38. 38B
39. 39E
40. 40C

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 12

Objetiva

Considere a equação

$|sen (x) - \cos (x)| + \sqrt{2 + {tg}^{2} (x) + {cotg}^{2} (x)} = \sqrt{3}$ ,

com $x \in (0, 6 π)$ e $x \notin \{\frac{m π}{2} / m \in ℤ\}$ . O número de soluções dessa equação é:

Alternativas

Gabarito:
A

Tem-se:

$\sqrt{2 + {tg}^{2} (x) + {cotg}^{2} (x)} = \sqrt{{(tg (x) + cotg (x))}^{2}} = |tg (x) + cotg (x)|$

Assim, a equação original se torna:

$|sen (x) - \cos (x)| + |tg (x) + cotg (x)| = \sqrt{3} |sen (x) - \cos (x)| = \sqrt{3} - |tg (x) + cotg (x)| (*)$

Para $tg (x) > 0$ (e consequentemente $cotg (x) > 0$ ), tem-se, pela desigualdade das médias:

$\frac{tgx + cotgx}{2} \geq \sqrt{tgx \cdot cotgx} \Rightarrow \frac{tgx + cotgx}{2} \geq 1 \Rightarrow tgx + cotgx \geq 2$

De modo análogo, se $tg (x) < 0$ , então $tg (x) + cotg (x) \leq - 2$ .

De todo modo: $|tg (x) + cotg (x)| \geq 2$

Assim, substituindo em (*), tem-se que:

$|sen (x) - \cos (x)| \leq \sqrt{3} - 2 < 0$

Como $|sen (x) - \cos (x)| \geq 0$ , então a equação não apresenta solução.

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