Questão 29 - 1ª Fase - IME 2027

O menor percurso sobre a superfície terrestre é um arco de círculo máximo. Por semelhança de triângulos, $∆\mathrm{AO}\text{'}\mathrm{O}\equiv ∆\mathrm{AO}\text{'}\mathrm{B}$, e portanto $\overline{\mathrm{AB}}\equiv \overline{\mathrm{AO}}=\mathrm{R}$. Logo o $∆\mathrm{AOB}$ é equilátero. Se $\gamma$ é o ângulo central entre os pontos A e B, tem-se: 

$\gamma =60°=\frac{\mathrm{\pi }}{3}\mathrm{rad}$

E o comprimento mínimo da fibra é: 

$\mathrm{L}=R\gamma =\frac{\mathrm{\pi R}}{3}$

No meio de índice de refração n, a velocidade da luz é:

$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{n}}$

Assim, o menor tempo de viagem é:

$∆{\mathrm{t}}_{\mathrm{mín}}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{\pi R}/3}{\mathrm{c}/\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{\pi Rn}}{3\mathrm{c}}$

Observação sobre as reflexões internas totais: se o raio sofresse reflexões internas com ângulo de incidência igual ao ângulo limite, o caminho percorrido pelo raio, no interior da fibra, seria nL. Nesse caso, a resposta seria:

$\boxed{∆{\mathrm{t}}_{\mathrm{mín}}=\frac{\mathrm{nL}}{\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{n\pi R}/3}{\mathrm{c}/\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{\pi Rn}}^2}{3\mathrm{c}}}$

Porém, desprezando-se a espessura da fibra, o mínimo intervalo de tempo ocorre quando o raio acompanha o eixo da fibra e, portanto, a distância percorrida pelo raio se torna L.