Questão 13 - 1ª Fase - IME 2027

Dada a equação

${\log }_{\left(0,5 \cos \left(4\mathrm{x}\right)+0,5\right)} \left(0,5\mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}\right)\right)=1$

Considere as condições de existência:

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{I}\right) 0,5\mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}\right)>0\Rightarrow \mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}\right)>0 \\ \left(\mathrm{II}\right) 0,5\cos \left(4\mathrm{x}\right)+0,5>0\Rightarrow \cos \left(4\mathrm{x}\right)>-1 \\ \left(\mathrm{III}\right) 0,5\cos \left(4\mathrm{x}\right)+0,5\ne 1\Rightarrow \cos \left(4\mathrm{x}\right)\ne 1 \end{gathered}$$

Além disso, pela definição de logaritmos, tem-se:

$0,5 \cos \left(4\mathrm{x}\right)+0,5=0,5 \mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}\right)$

Multiplicando por 2:

$$\begin{gathered} \cos \left(4\mathrm{x}\right)+1=\mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}\right)-\cos \left(4\mathrm{x}\right)=1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(4\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \mathrm{sen}\left(4\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Assim, há dois casos:

• Caso 1: $4\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{k\pi }\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{8}+\frac{\mathrm{k\pi }}{2}.$

Como $\mathrm{x}\in \left(0,\mathrm{\pi }\right)$, então $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{8}$ ou $\frac{5\mathrm{\pi }}{8}$

• Caso 2: $4\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{k\pi }\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{\mathrm{k\pi }}{2}.$

Como $\mathrm{x}\in \left(0,\mathrm{\pi }\right)$, então $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ ou $\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

Porém essas soluções não satisfazem a condição de existência (I).

Desse modo, as soluções são

$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{8}$ ou $\mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{8}$

Há, portanto, 2 soluções.