Questão 40 - 1ª Fase - IME 2027

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Gabarito

Geral
1. 1C
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33. 33B
34. 34D
35. 35E
36. 36C
37. 37A
38. 38B
39. 39E
40. 40C

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 40

Objetiva

Três recipientes rígidos $A, B e C$ , de volume $V, 2 V e 3 V$ , respectivamente, contêm uma mistura gasosa ideal formada por até três gases inertes $X, Y e Z$ , à mesma temperatura. Inicialmente, os recipientes estão isolados entre si e possuem pressões totais $P, 2 P e 3 P$ , respectivamente.

Além disso, desconhecem-se as pressões parciais dos gases em cada recipiente. Após a abertura simultânea das válvulas que os interligam e o estabelecimento do equilíbrio à mesma temperatura, as pressões parciais finais uniformes em todo o sistema são $P_{X}, P_{Y}, P_{Z}$ .

Antes da abertura das válvulas, sabe-se que:

o recipiente $A$ não contém o gás $Z$ .
o recipiente $B$ não contém o gás $Y$ .
o recipiente $C$ não contém o gás $X$ .

Indique qual das alternativas a seguir apresenta os limites estritamente aplicáveis ao processo, em termos de $P_{X}, P_{Y} e P_{Z}$ .

Alternativas

A
$P / 3 \leq P_{X} + P_{Y} \leq 5 P / 2$
B
$0 \leq P_{X} \leq 2 P / 3$
C
$2 P / 3 \leq P_{X} + P_{Z} \leq 7 P / 3$
D
$0 \leq P_{Y} \leq P / 2$
E
$P / 3 \leq P_{Y} + P_{Z} \leq 5 P / 3$

Gabarito:
C

Esquematizando, tem-se:

A (V) B (2 V) C (3 V) P 2 P 3 P X e Y X e Z Y e Z

Abertas as válvulas, a pressão final será:

P_{f} = \frac{P_{A} V_{A} + P_{B} V_{B} + P_{C} V_{C}}{V_{A} + V_{B} + V_{C}} = \frac{PV + 2 P \cdot 2 V + 3 P \cdot 3 V}{V + 2 V + 3 V} = \frac{14 P}{6}

P_{f} = \frac{7 P}{3}

Cálculo da pressão parcial máxima que cada um pode ter na mistura final com todas as válvulas abertas:

P_{máx, X} = \frac{PV + 2 P \cdot 2 V}{6 V} = \frac{5 P}{6}

P_{máx, Y} = \frac{PV + 3 P \cdot 3 V}{6 V} = \frac{10 P}{6}

P_{máx, Z} = \frac{2 P \cdot 2 V + 3 P \cdot 3 V}{6 V} = \frac{13 P}{6}

Assim,

{(P_{X} + P_{Y})}_{máx} = {(P_{X} + P_{Z})}_{máx} = {(P_{Y} + P_{Z})}_{máx} = \frac{7 P}{3}

Isso ocorre porque pode haver uma situação sem X, uma sem Y e outra sem Z.

Para se calcular a situação mínima, tem-se:

P_{X} + P_{Y} + P_{Z} = \frac{7 P}{3}

, mas para

{(P_{X} + P_{Y})}_{mín}

, deve-se ter

{(P_{Z})}_{máx}

.
Da mesma forma, para

{(P_{X} + P_{Z})}_{mín}

, deve-se ter

{(P_{Y})}_{máx}

Logo:

{(P_{X} + P_{Z})}_{mín} = \frac{7 P}{3} - {(P_{Y})}_{máx} = \frac{7 P}{3} - \frac{10 P}{6} = \frac{4 P}{6} = \frac{2 P}{3}

Portanto,

\frac{2 P}{3} \leq P_{X} + P_{Z} \leq \frac{7 P}{3}

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