Questão 1 - 1ª Fase - IME 2027

$\begin{array}{c}\mathrm{n} = {\overline{5621}}_{\mathrm{m}} = {\overline{1208}}_{\mathrm{m}+5}\\ \mathrm{n} = 1 + 2\mathrm{m} + 6{\mathrm{m}}^2 + 5{\mathrm{m}}^3 = 8 + 2(\mathrm{m} + 5{)}^2 + (\mathrm{m} + 5{)}^3\\ 4{\mathrm{m}}^3 - 11{\mathrm{m}}^2 - 93\mathrm{m} - 182 = 0\end{array}$

Primeiramente, deve-se notar que $\mathrm{m}=7$ é a única raiz inteira, pois:

$\mathbf{4}{\mathbf{m}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{11}{\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{93}\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{182}\mathbf{ }= \left(\mathrm{m} - 7\right)\left(4{\mathrm{m}}^2 + 17\mathrm{m} + 26\right)$

Logo, $\mathrm{m}=7$ e $\mathrm{n} = 1 + 2 · 7 + 6 · 7^2 + 5 · 7^3 =\boxed{2024}$.