Questão 21 - 1ª Fase - IME 2027

Como a plataforma permanece horizontal, ela apenas translada: todos os seus pontos e o bloco descrevem circunferências de raio R com velocidade angular constante $\mathrm{\omega }$. Logo, a única aceleração do bloco é a centrípeta, de módulo ${\mathrm{\omega }}^2\mathrm{R}.$

Da figura:

Horizontal: ${\mathrm{f}}_{\mathrm{at}} = {\mathrm{m\omega }}^2\mathrm{R} \cos \mathrm{\theta } \left(\mathrm{I}\right)$

Vertical: $\mathrm{mg} - \mathrm{N} = {\mathrm{m\omega }}^2\mathrm{R} \mathrm{sen} \mathrm{\theta } \Rightarrow \mathrm{N} = \mathrm{m}(\mathrm{g} - {\mathrm{\omega }}^2\mathrm{R} \mathrm{sen} \mathrm{\theta }) \left(\mathrm{II}\right)$

Condição para não deslizar:

${\mathrm{f}}_{\mathrm{at}} \le \mathrm{\mu N}; \mathrm{de} \left(\mathrm{I}\right) \mathrm{e} \left(\mathrm{II}\right): {\mathrm{\omega }}^2\mathrm{R} \cos \mathrm{\theta } \le \mathrm{\mu }(\mathrm{g} - {\mathrm{\omega }}^3\mathrm{R} \mathrm{sen} \mathrm{\theta }) \Rightarrow {\mathrm{\omega }}^2\mathrm{R}(\cos \mathrm{\theta } + \mathrm{\mu } \mathrm{sen} \mathrm{\theta }) \le \mathrm{\mu g}$

A condição deve valer para todo $\mathrm{\theta }$. Usando o máximo fornecido:

${\mathrm{\omega }}^2\mathrm{R}\sqrt{1 + {\mathrm{\mu }}^2} \le \mathrm{\mu g} \Rightarrow {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{máx}}^2 = \frac{\mathrm{\mu g}}{\mathrm{R}\sqrt{1 + {\mathrm{\mu }}^2}}$

Substituindo os valores:

${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{máx}}^2 = \frac{\sqrt{0,44} · 10}{{\displaystyle \frac{3}{4}}\sqrt{0,44} · \sqrt{1,44}} = \frac{10}{0,75 · 1,2} = \frac{100}{9} \Rightarrow \boxed{ {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{máx}} = \frac{10}{3} \mathrm{rad}/\mathrm{s} }$