Questão 9 - 1ª Fase - IME 2027

Fatorando o polinômio $x^{12}-1$, tem-se: 

$$\begin{gathered} x^{12}-1=(x^6-1)(x^6+1) \\ {x}^{12}-1=(x^3+1)(x^3-1)(x^2+1)(x^4-x^2+1) \\ {x}^{12}-1=(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1) \end{gathered}$$

Note que os termos do lado direito da igualdade formam, ou podem formar juntos, polinômios de grau 4 cujas raízes serão as mesmas de $x^{12}-1$.

Caso 1: usando o polinômio de grau 4
Nesse caso, temos apenas 1 opção que é $x^4-x^2+1$.

Caso 2: usando dois polinômios de grau 2: podemos pegar dois polinômios diferentes ou duas vezes o mesmo polinômio. 

Sendo assim, o total de possibilidades será $C_{3, 2}+3=6$.

Caso 3: usando dois polinômios de grau 1 e um polinômio de grau 2: temos 3 opções para o polinômio de grau 2 e, para o grau 1, podemos usar dois polinômios diferentes ou duas vezes o mesmo polinômio.

O total de possibilidades será 3 · (1 +2) = 9.

Caso 4: usando apenas polinômios de grau 1: a tabela a seguir detalha os casos

(x + 1)	(x – 1)
4	0
3	1
2	2
1	3
0	4