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Questão 9 - 1ª Fase - IME 2027
Gabarito
Seja o número de polinômios de grau 4 que têm coeficientes inteiros, coeficiente do termo de maior grau igual a 1 e cujas raízes também são raízes do polinômio . O resto da divisão de por 5 é:
Alternativas
- A
0
- B
1
- C
2
- D
3
- E
4
Gabarito:B
Fatorando o polinômio , tem-se:
Note que os termos do lado direito da igualdade formam, ou podem formar juntos, polinômios de grau 4 cujas raízes serão as mesmas de .
Caso 1: usando o polinômio de grau 4
Nesse caso, temos apenas 1 opção que é .
Caso 2: usando dois polinômios de grau 2: podemos pegar dois polinômios diferentes ou duas vezes o mesmo polinômio.
Sendo assim, o total de possibilidades será .
Caso 3: usando dois polinômios de grau 1 e um polinômio de grau 2: temos 3 opções para o polinômio de grau 2 e, para o grau 1, podemos usar dois polinômios diferentes ou duas vezes o mesmo polinômio.
O total de possibilidades será 3 · (1 +2) = 9.
Caso 4: usando apenas polinômios de grau 1: a tabela a seguir detalha os casos
| (x + 1) | (x – 1) |
| 4 | 0 |
| 3 | 1 |
| 2 | 2 |
| 1 | 3 |
| 0 | 4 |
Totalizando 5 possibilidades.
Desta forma, n = 1 + 6 + 9 + 5 = 21.
Logo, o resto de n na divisão por 5 é 1.
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