Questão 63 - Prova Modelo A - AFA 2027

Na primeira situação, a partícula desce um plano inclinado de ângulo $\mathrm{\theta }$ com velocidade constante. Como a velocidade é constante, a aceleração é nula e a força resultante na direção do movimento também deve ser zero.

As forças que atuam ao longo do plano inclinado são a componente do peso tangente ao plano $\left({\mathrm{P}}_{\mathrm{II}}\right)$ e a força de atrito cinético $\left({\mathrm{F}}_{\mathrm{at}}\right)$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{P}}_{\mathrm{II}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{at}}=0 \\ \mathrm{mgsin\theta }=\mathrm{\mu N} \end{gathered}$$

Como o plano é inclinado, a força normal é dada por $\mathrm{N}=\mathrm{mgcos\theta }$. Substituindo:

$$\begin{gathered} \mathrm{mgsin\theta }=\mathrm{\mu mgcos\theta } \\ \mathrm{\mu }=\frac{\mathrm{sin\theta }}{\mathrm{cos\theta }}=\mathrm{tan\theta } \end{gathered}$$

O trabalho da força de atrito é:

$$\begin{gathered} {\mathrm{W}}_{\mathrm{at}}=-{\mathrm{F}}_{\mathrm{at} } · \mathrm{d} \\ {\mathrm{W}}_{\mathrm{at}}=-\left(\mathrm{tan\theta }·\mathrm{mgcos\alpha }\right)·\left(\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{sin\alpha }}\right) \\ {\mathrm{W}}_{\mathrm{at}}=-\mathrm{mgH}\frac{\mathrm{tan\theta }}{\mathrm{tan\alpha }} \end{gathered}$$

Pelo Teorema do Trabalho-Energia Mecânica:

$$\begin{gathered} ∆{\mathrm{E}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{W}}_{\mathrm{at}} \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{m},\mathrm{B}}-{\mathrm{E}}_{\mathrm{m},\mathrm{A}}={\mathrm{W}}_{\mathrm{at}} \end{gathered}$$

Adotando o solo horizontal como referencial para a energia potencial zero, tem-se ${\mathrm{E}}_{\mathrm{m},\mathrm{A}}=\mathrm{mgH}$ e ${\mathrm{E}}_{\mathrm{m},\mathrm{B}}=\frac{1}{2}{\mathrm{mv}}_1^2$ (em que ${\mathrm{v}}_1$ é a velocidade imediatamente antes da colisão):

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}{\mathrm{mv}}_1^2-\mathrm{mgH}=-\mathrm{mgH}\frac{\mathrm{tan\theta }}{\mathrm{tan\alpha }} \\ \frac{1}{2}{\mathrm{mv}}_1^2=\mathrm{mgH}\left(1-\frac{\mathrm{tan\theta }}{\mathrm{tan\alpha }}\right) \\ {\mathrm{v}}_1^2=2\mathrm{gH}\left(1-\frac{\mathrm{tan\theta }}{\mathrm{tan\alpha }}\right) \end{gathered}$$

No plano horizontal BC, a partícula 1 (massa m e velocidade ${\mathrm{v}}_1$) colide elasticamente com a partícula 2 (massa 2m, inicialmente em repouso). Sejam ${\mathrm{v}}_1\text{'}$ e ${\mathrm{v}}_2\text{'}$ as velocidades após o impacto.

Pela Conservação da Quantidade de Movimento:

$$\begin{gathered} {\mathrm{mv}}_1={\mathrm{mv}}_1\text{'}+2{\mathrm{mv}}_2\text{'} \\ {\mathrm{v}}_1={\mathrm{v}}_1\text{'}+2{\mathrm{v}}_2\text{'} \end{gathered}$$

Como a colisão é perfeitamente elástica, o coeficiente de restituição é e = 1:

$\mathrm{e}=\frac{{\mathrm{v}}_2\text{'}-{\mathrm{v}}_1\text{'}}{{\mathrm{v}}_1}=1\Rightarrow {\mathrm{v}}_1\text{'}={\mathrm{v}}_2\text{'}-{\mathrm{v}}_1$

Substituindo a expressão de ${\mathrm{v}}_1\text{'}$ na equação da quantidade de movimento:

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_1=\left({\mathrm{v}}_2\text{'}-{\mathrm{v}}_1\right)+2{\mathrm{v}}_2\text{'} \\ 2{\mathrm{v}}_1=3{\mathrm{v}}_2\text{'} \\ {\mathrm{v}}_2\text{'}=\frac{2}{3}{\mathrm{v}}_1 \end{gathered}$$

A partícula 2, agora com velocidade ${\mathrm{v}}_2\text{'}$, sobe o plano CD sem atrito até parar no ponto D, a uma altura h. Pela Conservação da Energia Mecânica aplicada à partícula 2:

$$\begin{gathered} {\mathrm{E}}_{\mathrm{m},\mathrm{inicial}}={\mathrm{E}}_{\mathrm{m},\mathrm{final}} \\ \frac{1}{2}\left(2\mathrm{m}\right){\left({\mathrm{v}}_2\text{'}\right)}^2=\left(2\mathrm{m}\right)\mathrm{gh} \\ \frac{1}{2}{\left({\mathrm{v}}_2\text{'}\right)}^2=\mathrm{gh} \end{gathered}$$

Substituindo ${\mathrm{v}}_2\text{'}=\frac{2}{3}{\mathrm{v}}_1$:

$$\begin{gathered} \mathrm{gh}=\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}{\mathrm{v}}_1\right)}^2 \\ \mathrm{gh}=\frac{2}{9}{\mathrm{v}}_1^2 \end{gathered}$$

Agora, substitui-se o valor de ${\mathrm{v}}_1^2$ obtido no final da etapa 2:

$$\begin{gathered} \mathrm{gh}=\frac{2}{9}·\left[2\mathrm{gH}\left(1-\frac{\mathrm{tan\theta }}{\mathrm{tan\alpha }}\right)\right] \\ \mathrm{gh}=\frac{4}{9}\mathrm{gH}\left(1-\frac{\mathrm{tan\theta }}{\mathrm{tan\alpha }}\right) \end{gathered}$$

Isolando h:

$\boxed{\mathrm{h}=\frac{4}{9}\left(1-\frac{\mathrm{tan\theta }}{\mathrm{tan\alpha }}\right)\mathrm{H}}$