Questão 22 - Prova Modelo A - AFA 2027

Antes de avaliar as afirmações, determinam-se as raízes do polinômio. 

Por inspeção, verifica-se que –1 e 2 são raízes. Assim:

 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=3\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)\left({\mathrm{x}}^2+25\right)$

O último termo tem raízes complexas $\pm 5\mathrm{i}$.

Sem perda de generalidade, tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=-1 \\ {\mathrm{x}}_2=2 \\ {\mathrm{x}}_3=5\mathrm{i} \\ {\mathrm{x}}_4=-5\mathrm{i} \end{gathered}$$

Afirmação I: verdadeira. Reescrevendo as raízes obtidas na forma trigonométrica, tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=1·\mathrm{cis}\left(\mathrm{\pi }\right) \\ {\mathrm{x}}_2=2·\mathrm{cis}\left(0\right) \\ {\mathrm{x}}_3=5·\mathrm{cis}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ {\mathrm{x}}_4=5·\mathrm{cis}\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right) \end{gathered}$$

Percebe-se que, na ordem $\left({\mathrm{x}}_2, {\mathrm{x}}_3, {\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_4\right)$, os argumentos estão em PA. 

Afirmação II: falsa. A área do quadrilátero formado pelas raízes pode ser obtida separando-o em dois triângulos congruentes de base 3 e altura 5, o que resulta em uma área total de 15 u.a. Portanto, o valor da área é múltiplo de 5, e não divisor de 5.

Afirmação III: verdadeira. Pelas relações de Girard, sabe-se que a soma dos produtos de duas raízes será de: