Questão 25 - Prova Modelo A - AFA 2027

Como $\mathrm{x} = 1 - \mathrm{i}\sqrt{3}$ é raiz, então seu conjugado também é; assim:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right) = -\left(\mathrm{x} - 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(\mathrm{x} - 1 - \mathrm{i}\sqrt{3}\right) · \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)$

Como $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right) = -{\mathrm{x}}^4 - 10{\mathrm{x}}^2 + 12\mathrm{x} - 40$, fazendo a divisão, tem-se:

$\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^2 + 2\mathrm{x} + 10$

Para as raízes de Q(x), tem-se:

$∆ = 4 - 40 = -36$

$\mathrm{x} = \frac{-2\pm 6\mathrm{i}}{2}$

$\mathrm{x} = -1 - 3\mathrm{i}$ ou $\mathrm{x} = -1 + 3\mathrm{i}$

O quadrilátero formado será um trapézio de bases 6 e $2\sqrt{3}$.

A revolução desse trapézio dará origem a um cilindro sem um cone na parte superior e inferior. Dessa forma, o volume será o volume do cilindro menos os dois cones. Assim:

${\mathrm{C}}_{\mathrm{cil}} = {\mathrm{\pi R}}^2 · \mathrm{h}$

A altura do cilindro será a base maior, que é 6; já o raio é a diferença entre as partes reais, que vale 2:

${\mathrm{C}}_{\mathrm{cil}} = \mathrm{\pi } · 2^2 · 6 = 24\mathrm{\pi }$

Para o cone:

${\mathrm{C}}_{\mathrm{cone}} = \frac{{\mathrm{\pi R}}^2 · \mathrm{h}}{3}$

O cone possui mesmo raio que o cilindro, mas a altura do cone será a metade da diferença entre as bases:

$\mathrm{h} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{2} = 3 - \sqrt{3}$

${\mathrm{C}}_{\mathrm{cone}} = \frac{\mathrm{\pi } · 2^2 · (3 - \sqrt{3})}{3} = \frac{4\mathrm{\pi } · (3 - \sqrt{3})}{3}$

Fazendo a diferença:

$\mathrm{V} = 24\mathrm{\pi } - 2 · \frac{4\mathrm{\pi } · (3 - \sqrt{3})}{3}$

$\boxed{ \mathrm{V} = 8\mathrm{\pi }\left(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) }$