Questão 27 - Prova Modelo A - AFA 2027

Para a razão ${\mathrm{Q}}_1$:

O retângulo de cima possui lados 8r e 4r, totalizando $32{\mathrm{r}}^2$ de área. Agora, é preciso encontrar as áreas em branco:

Há 8 círculos brancos com raio r, totalizando $8·{\mathrm{\pi r}}^2$

Portanto, a área cinza é de $8\left(4-\mathrm{\pi }\right)$

O retângulo de baixo tem as mesmas dimensões, portanto também possui $32{\mathrm{r}}^2$ área.

Para os círculos, agora, há apenas 2 de raio 2r, totalizando $2·\mathrm{\pi }·4{\mathrm{r}}^2=8{\mathrm{\pi r}}^2$

Portanto, a área cinza é de $8\left(4-\mathrm{\pi }\right)$

Dessa forma, a razão é $\boxed{{\mathrm{Q}}_1=1}$

Para a razão ${\mathrm{Q}}_2$:

Os triângulos possuem as mesmas medidas de lado L, fazendo com que suas áreas sejam de $\frac{{\mathrm{L}}^2\sqrt{3}}{4}$.

Para o de cima, é preciso descobrir a área do círculo. Pela proporção trigonométrica, sabe-se que:

$\mathrm{r}\sqrt{3}=\frac{\mathrm{L}}{2}$

$\mathrm{r}=\frac{\mathrm{L}}{2\sqrt{3}}$

A área do círculo é $\frac{{\mathrm{\pi L}}^2}{12}$.

A área cinza será: $\frac{3\sqrt{3}-\mathrm{\pi }}{12}·{\mathrm{L}}^2$

Para o de baixo, é preciso descobrir o raio das esferas menores.

Traçando um triângulo retângulo em que a hipotenusa é a reta que contém os raios das circunferências, percebe-se a proporção:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{R}}{\mathrm{r}}=\frac{2\mathrm{R}}{\mathrm{r}+3\mathrm{R}} \\ \mathrm{r}=3\mathrm{R} \end{gathered}$$

A área total dos círculos é: $3·{\mathrm{\pi R}}^2$. Aplicando as relações entre raios e entre raio e lado, chega-se a:

$\frac{\mathrm{\pi }}{3}·\frac{{\mathrm{L}}^2}{12}$

A área cinza será: $\frac{9\sqrt{3}-\mathrm{\pi }}{36}·{\mathrm{L}}^2$

Dessa forma, a razão será:

$$\begin{gathered} {\mathrm{Q}}_2=\frac{{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}-\mathrm{\pi }}{12}}·{\mathrm{L}}^2}{{\displaystyle \frac{9\sqrt{3}-\mathrm{\pi }}{36}}·{\mathrm{L}}^2} \\ {\mathrm{Q}}_2=\frac{9\sqrt{3}-3\mathrm{\pi }}{9\sqrt{3}-\mathrm{\pi }} \end{gathered}$$

É possível perceber que ${\mathrm{Q}}_2<1$, e, assim, $\boxed{{\mathrm{Q}}_2<{\mathrm{Q}}_1}$

Para a razão ${\mathrm{Q}}_3$:

Os hexágonos possuem as mesmas medidas de lado m, fazendo com que suas áreas sejam de $6·\frac{{\mathrm{m}}^2\sqrt{3}}{4}$.

Para o de cima, é preciso encontrar a área da circunferência inscrita. Pela geometria da figura, sabe-se que $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{m}\sqrt{3}}{2}$, o que faz com que a área seja de $\frac{3{\mathrm{\pi m}}^2}{4}$.

A área cinza será de $\frac{6\sqrt{3}-3\mathrm{\pi }}{4}·{\mathrm{m}}^2$

Para o de baixo, é preciso achar as áreas das circunferências que são inscritas nos triângulos que formam o hexágono. Da razão anterior, sabe-se que $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{m}}{2\sqrt{3}}$.

A área branca total é $6·\frac{{\mathrm{\pi m}}^2}{12}$.

A área cinza será de $\frac{6\sqrt{3}-2\mathrm{\pi }}{4}·{\mathrm{m}}^2$

A razão será:

$$\begin{gathered} {\mathrm{Q}}_3=\frac{{\displaystyle \frac{6\sqrt{3}-3\mathrm{\pi }}{4}}·{\mathrm{m}}^2}{{\displaystyle \frac{6\sqrt{3}-2\mathrm{\pi }}{4}}·{\mathrm{m}}^2} \\ {\mathrm{Q}}_3=\frac{6\sqrt{3}-3\mathrm{\pi }}{6\sqrt{3}-2\mathrm{\pi }} \end{gathered}$$

Também é possível perceber que ${\mathrm{Q}}_3<1$, e, assim, $\boxed{{\mathrm{Q}}_3<{\mathrm{Q}}_1}$

Seria difícil definir qual razão seria a menor, mas, como só há uma alternativa na qual a razão 1 é a maior, todas as outras alternativas podem ser eliminadas.