Questão 29 - Prova Modelo A - AFA 2027

Na função definida por $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m} + \mathrm{t} · \mathrm{sen}\left(\mathrm{p} + \mathrm{qx}\right)$, o parâmetro m é responsável por um deslocamento vertical do gráfico em comparação com uma função $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{t}·\mathrm{sen}\left(\mathrm{p} + \mathrm{qx}\right)$. Assim, esse parâmetro pode ser determinado pela média dos valores mínimo e máximo da função f(x):

$$\begin{gathered} \mathrm{m}=\frac{1+5}{2} \\ \mathrm{m}=3 \end{gathered}$$

O parâmetro t corresponde à amplitude, que é obtida pela metade da diferença entre os valores máximo e mínimo:

$$\begin{gathered} \mathrm{t}=\frac{5-1}{2} \\ \mathrm{t}=2 \end{gathered}$$

O parâmetro q tem relação com o período da função (T):

$$\begin{gathered} \mathrm{q}=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{T}} \\ \mathrm{q}=\frac{2\mathrm{\pi }}{{\displaystyle \frac{15}{4}}-\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)} \\ \mathrm{q}=\frac{\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

A fim de determinar o parâmetro p, cabe reescrever a lei de formação da função como $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}+\mathrm{t}·\mathrm{sen}\left(\mathrm{q}\left(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}+\mathrm{x}\right)\right)$, de modo que $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ é o deslocamento horizontal. Como o gráfico de $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}+\mathrm{t}·\mathrm{sen}\left(\mathrm{p}+\mathrm{qx}\right)$ tem um deslocamento horizontal para a direita em relação ao gráfico de $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}+\mathrm{t}·\mathrm{sen}\left(\mathrm{qx}\right)$, tem-se que a expressão $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ é um valor negativo:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}=-\frac{{\displaystyle \frac{15}{4}}+\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)}{2} \\ \frac{\mathrm{p}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}}=-\frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{2} \\ \mathrm{p} = -\frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$

Dessa forma, a lei de formação da função $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{m}+\mathrm{t}·\mathrm{sen}\left(\mathrm{p} + \mathrm{qx}\right)$ corresponde a $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3+2·\mathrm{sen}\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\mathrm{x}\right)$.

Com isso, pode-se retomar a expressão do enunciado:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{m}\right)-\mathrm{m} \\ \mathrm{f}\left(3\right)-3 \\ 3+2·\mathrm{sen}\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}·3\right)-3 \\ 2·\mathrm{sen}\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ 2·\mathrm{sen}\frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ 2·\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sqrt{2} \end{gathered}$$

Esse valor está entre 1 e 1,5, visto que:

$$\begin{gathered} 1<\sqrt{2}<1,5 \\ \sqrt{1^2}<\sqrt{2}<\sqrt{1,5^2} \\ \sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{2,25} \end{gathered}$$