Questão 18 - Prova Modelo A - AFA 2027

Para encontrar o conjunto solução de f(x), é necessário avaliar suas condições de existência. 

Por causa do módulo, já se sabe que os valores são sempre positivos, mas alguns não são permitidos, pois nem o logaritmando nem a base podem ser nulos: 

$$\begin{gathered} 2\mathrm{x}-5\ne 0 \\ \mathrm{x}\ne \frac{5}{2} \end{gathered}$$ 

E também: 

$\mathrm{x}\ne 3$ 

Para a base, também é necessário considerar que ela não pode valer 1, então: 

$\left|\mathrm{x}-3\right|\ne 1$ 

O que leva a: 

$$\begin{gathered} \mathrm{x}\ne 2 \\ \mathrm{x}\ne 4 \end{gathered}$$

Com isso, sabe-se que, entre 2 e 4, a base é menor que a unidade. 

Para a inequação $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>0$, tem-se: 

Para $\mathrm{x}<2$: 

$$\begin{gathered} {\log }_{3-\mathrm{x}}^{5-2\mathrm{x}}>0 \\ 5-2\mathrm{x}>1 \\ \mathrm{x}<2 \end{gathered}$$ 

Todos os pontos do intervalo são solução. 

Para $2\le \mathrm{x}<\frac{5}{2}:$

Todos os pontos do intervalo são solução. 

Para $\frac{5}{2}<\mathrm{x}<4$ 

A solução é o intervalo $\frac{5}{2}<\mathrm{x}<3$. 

Para $4\le \mathrm{x}$: 

Todos os pontos do intervalo são solução.

A solução de f será a união de todas as soluções: 

${\mathrm{S}}_{\mathrm{f}}=]-\infty , 3 \left[\cup \right] 4, +\infty [-\left\{\frac{5}{2}\right\}$ 

Para o conjunto solução de g(x), tem-se: 

Que é o intervalo de: 

${\mathrm{S}}_{\mathrm{g}}=]-\infty , -4 ]\cup [ 2, +\infty [$

A intersecção dos conjuntos será: 

$\mathrm{S}=]-\infty , -4] \cup ] 2, 3 \left[\cup \right] 4, +\infty [-\left\{\frac{5}{2}\right\}$

O conjunto complementar será: 

$\boxed{\mathrm{A}=]-4, 2]\cup \left[3, 4\right]\cup \left\{\frac{5}{2}\right\}}$