Questão 20 - Prova Modelo A - AFA 2027

a) Sabe-se que a área da esfera é dada por $\mathrm{A}=4{\mathrm{\pi R}}^2$, assim: 

$4{\mathrm{\pi R}}^2=1024\mathrm{\pi }$

$\mathrm{R}=16 \mathrm{cm}$

Portanto, a esfera é grande demais para a caixa. 

b) Para um cone equilátero, o diâmetro da base é igual à geratriz, o que já o torna grande demais para a caixa. 

c) Para um octaedro de $20\sqrt{2} \mathrm{cm}$ de altura, a pirâmide obtida ao se cortar a figura no meio apresenta $10\sqrt{2}$ cm  de altura. Com isso, pode-se descobrir qual é a distância do centro da base até a aresta do octaedro por um Pitágoras entre a altura e a apótema: 

${\left(10\sqrt{2}\right)}^2+{\mathrm{x}}^2={\left(20\sqrt{3}\right)}^2$

${\mathrm{x}}^2=1200-200=1000$

$\mathrm{x}=10\sqrt{10}$cm 

A base será grande demais para a caixa. 

d) Como a aresta da base é de 11 cm, a aresta da base será de $11\sqrt{2}$ cm. 

Fazendo um Pitágoras entre a aresta da base, a aresta do prisma e a altura, tem-se: 

${\left(11\sqrt{2}\right)}^2+{\mathrm{x}}^2={\left(11\sqrt{11}\right)}^2$

${\mathrm{x}}^2=121·11-121·2=121·9$

$\boxed{\mathrm{x}=33 \mathrm{cm}}$, que é exatamente o tamanho da caixa.