Questão 25 - Prova Modelo A - AFA 2025

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Gabarito

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32. 32D
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39. 39D
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52. 52D
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59. 59D
60. 60C
61. 61B
62. 62A
63. 63A
64. 64B
65. REDRED
66. TXTTXT

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 25

Objetiva

Considere um triângulo retângulo cujo perímetro mede 15 unidades de comprimento e que seus lados estão em uma progressão aritmética crescente. A partir desse triângulo, podemos inscrever uma circunferência de raio 𝒓, bem como circunscrever outra circunferência de raio 𝑹. Então, a razão entre o raio da circunferência circunscrita e o raio da circunferência inscrita, nessa ordem, pertence ao intervalo:

Alternativas

A
[1, 2[
B
[2, 3[
C
[3, 4[
D
[4, 5]

Gabarito:
B

O triângulo em questão está desenhado na figura a seguir:

Como o perímetro é 15, tem-se:

b – r + b + b + r = 15

3b = 15

b = 5

Por Pitágoras, tem-se:

{(b - r)}^{2} + b^{2} = {(b + r)}^{2} b^{2} - 2 \cdot b \cdot r + r^{2} + b^{2} = b^{2} + 2 \cdot b \cdot r + r^{2} b^{2} = 4 \cdot b \cdot r r = \frac{b}{4} = \frac{5}{4}

Assim, o triângulo ficará:

Tem-se que o semi-perímetro é:

p = \frac{15}{2}

A área do triângulo pode ser escrita como:

A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{15}{4} = \frac{75}{8}

Para o cálculo do raio da circunferência inscrita, usa-se:

A = r \cdot p \frac{75}{8} = r \cdot \frac{15}{2} r = \frac{5}{4}

Para o cálculo do raio da circunferência, usa-se:

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A} = \frac{\frac{15}{4} \cdot 5 \cdot \frac{25}{4}}{4 \cdot \frac{75}{8}} = \frac{25}{8}

Por fim:

\frac{R}{r} = \frac{\frac{25}{8}}{\frac{5}{4}} = \frac{5}{2} = 2, 5

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