Questão 22 - Prova Modelo A - AFA 2025

Chamando${\mathrm{x}}^4=\mathrm{a},$ pode-se reescrever a equação como:$\mathrm{a}+\frac{1}{\mathrm{a}}=23$. Assim:

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^2-23\mathrm{a}+1=0 \\ \mathrm{a}=\frac{23+5\sqrt{21}}{2} \mathrm{ou} \mathrm{a}=\frac{23-5\sqrt{21}}{2} \end{gathered}$$

É possível perceber que os dois valores são um o inverso do outro.

${\mathrm{x}}^4=\frac{23+5\sqrt{21}}{2}=\frac{46+10\sqrt{21}}{4}={\left(\frac{\sqrt{21}+5}{2}\right)}^2$

${\mathrm{x}}^2=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$

${\mathrm{x}}^6={\mathrm{x}}^4·{\mathrm{x}}^2=\frac{23+5\sqrt{21}}{2}·\frac{\sqrt{21}+5}{2}=55+12\sqrt{21}$

Calculando o inverso de ${\mathrm{x}}^6$, tem-se: $\frac{1}{{\mathrm{x}}^6}=\frac{1}{55+12\sqrt{21}}=55-12\sqrt{21}$

Dessa maneira, fazendo a soma:

${\mathrm{x}}^6+\frac{1}{{\mathrm{x}}^6}=55+12\sqrt{21}+55-12\sqrt{21}=110$

Alternativa A: correta.$\left[\mathrm{ℝ}-\left(\mathrm{ℝ}-\mathrm{\mathbb{Q}}\right)\right]\cap \mathrm{\mathbb{N}}=\mathrm{\mathbb{Q}}\cap \mathrm{\mathbb{N}}=\mathrm{\mathbb{N}}.$ Então, $110\in \mathrm{\mathbb{N}}.$
Alternativa B: incorreta. $\mathrm{\mathbb{Q}}-\mathrm{\mathbb{Z}}=$números racionais não inteiros, e 110 é natural.
Alternativa C: incorreta. $\mathrm{ℝ}-\mathrm{\mathbb{Q}}=$números irracionais.
Alternativa D: incorreta. $\left(\mathrm{\mathbb{Q}}\cup \mathrm{ℝ}\right)-\mathrm{\mathbb{N}}=\mathrm{ℝ}-\mathrm{\mathbb{N}}=$números reais sem naturais, porém 110 é natural.