Questão 8 - 1ª Fase - IME 2026

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Gabarito

Geral
1. 1D
2. 2D
3. 3C
4. 4C
5. 5D
6. 6E
7. 7D
8. 8A
9. 9A
10. 10C
11. 11C
12. 12A
13. 13A
14. 14C
15. 15D
16. 16A
17. 17C
18. 18D
19. 19A
20. 20B
21. 21C
22. 22B
23. 23A
24. 24E
25. 25C
26. 26C
27. 27B
28. 28E
29. 29D
30. 30E
31. 31C
32. 32E
33. 33B
34. 34C
35. 35D
36. 36E
37. 37A
38. 38B
39. 39D
40. 40B

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 8

Objetiva

Sejam as sequências crescentes $S_{n}$ , $n \in ℕ *$ formadas por $n$ ímpares consecutivos, tais que $S_{1} = (1)$ , $S_{2} = (3, 5)$ e $S_{k}$ inicia no menor ímpar que não pertence a $S_{j}$ , para todo $j < k$ .

A soma de todos os termos de $S_{2025}$ é:

Alternativas

A
$2025^{3}$
B
$2024 \cdot 2025^{2}$
C
$2025 \cdot 2024^{2}$
D
$1012 \cdot 2025^{2}$
E
$2024^{3}$

Gabarito:
A

Toma-se a sequência $(a_{n})$ dos números ímpares. Sabe-se que $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = n^{2}$ .

Sendo assim, percebe-se que de $S_{1}$ a $S_{2024}$ existem $1 + 2 + \dots + 2024 = \frac{2024 \cdot 2025}{2} = 1012 \cdot 2025$ números ímpares.

E, portanto, $1 + 2 + \dots + 2025 = 1013 \cdot 2025$ .

Logo, $S_{2025} = {(2025 \cdot 1013)}^{2} - {(2025 \cdot 1012)}^{2} = 2025^{3}$ .

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