Questão 5 - 1ª Fase - IME 2026

Pelo teorema das raízes conjugadas, $x=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ também é raiz.

Desse modo, P(x) é divisível por:

 $\left(\mathrm{x}-\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)\right)\left(\mathrm{x}-\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)\right)={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$

Dividindo P(x) por ${\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$, obtém-se o quociente ${\mathrm{x}}^3+6x+20$.

Por inspeção, $-2$ é raiz de $x^3+6x+20$. Fatorando a expressão, tem-se:

${\mathrm{x}}^3+6x+20\equiv \left(\mathrm{x}+2\right)\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+10\right)$

Assim:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\equiv \left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+10\right)·\left(\mathrm{x}+2\right)$

Nota-se que a segunda parcela é uma função do 2º grau e que $\mathrm{\Delta }=-36$, não apresentando, portanto, raízes reais. Assim, a única raiz real de P(x) é $-2$, totalizando apenas uma raiz desse tipo.