Questão 6 - 1ª Fase - IME 2026

Sejam x e y naturais. Desse modo:

${\mathrm{x}}^2 - {\mathrm{y}}^2 = \left(\mathrm{x} + \mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x} - \mathrm{y}\right)$

Sendo assim, se x e y têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), ambas as parcelas são números pares. Se x e y têm paridades diferentes (um par e outro ímpar), ambas as parcelas são ímpares.

Desse modo, o produto pode ser escrito como produto de 2 pares ou de 2 ímpares.

Nota-se que:

a) $2023 · 2024 = 4046 · 1012$ (ambos pares)

b) $2023 · 2025$ (ambos ímpares)

c) $2024 · 2025 = 1012 · 2050$ (ambos pares)

d) $2024 · 2026$ (ambos pares)

e) $2025 · 2026$ apresenta um único fator 2 no produto, de modo que não pode ser escrito como o produto de dois pares ou de dois ímpares.

Assim, o único produto que não pode ser uma diferença de dois quadrados perfeitos é $\boxed{2025 · 2026}$.