Questão 2 - 1ª Fase - IME 2026

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Gabarito

Geral
1. 1D
2. 2D
3. 3C
4. 4C
5. 5D
6. 6E
7. 7D
8. 8A
9. 9A
10. 10C
11. 11C
12. 12A
13. 13A
14. 14C
15. 15D
16. 16A
17. 17C
18. 18D
19. 19A
20. 20B
21. 21C
22. 22B
23. 23A
24. 24E
25. 25C
26. 26C
27. 27B
28. 28E
29. 29D
30. 30E
31. 31C
32. 32E
33. 33B
34. 34C
35. 35D
36. 36E
37. 37A
38. 38B
39. 39D
40. 40B

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 2

Objetiva

Uma relação binária R sobre um conjunto S é dita antissimétrica se somente se para quaisquer x e y elementos de S, sempre que $(x, y) \in R$ e $(y, x) \in R$ , então x = y. O número de relações binárias antissimétricas existentes sobre um conjunto com n elementos é:

Alternativas

A
$2^{n}$
B
$2^{\frac{n^{2} + n}{2}}$
C
$2^{n^{2}} \cdot 3^{\frac{n}{2}}$
D
$2^{n} \cdot 3^{\frac{n^{2} - n}{2}}$
E
$2^{n} \cdot 3^{\frac{n^{2} + n}{2}}$

Gabarito:
D

Uma relação binária de A em A é um subconjunto de A $\times$ A.

Se n(A) = n, tem-se $n (A \times A) = n^{2}$ . Desses $n^{2}$ pares (x,y), separam-se os n pares diagonais (x = y) e os $(n^{2} - n)$ não diagonais $(x \neq y)$ .

Assim, tem-se:

Cada par diagonal pode estar ou não na relação: $2^{n}$ possibilidades.

Para cada par de pares não diagonais, tem-se 3 possibilidades: (x,y) pertence e (y,x) não pertence; (x,y) não pertence e (y,x) pertence, ou os dois pares não pertencem. Logo, $3^{\frac{n^{2} - n}{2}}$ possibilidades.

Então, o número de relações binárias antissimétricas será $2^{n} \cdot 3^{\frac{n^{2} - n}{2}}$ .

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