Questão 11 - 1ª Fase - IME 2026

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Gabarito

Geral
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29. 29D
30. 30E
31. 31C
32. 32E
33. 33B
34. 34C
35. 35D
36. 36E
37. 37A
38. 38B
39. 39D
40. 40B

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 11

Objetiva

Considere o sistema de equações no qual $θ$ é um parâmetro real.

$\{\begin{cases} \begin{matrix} s e n (θ) x & - & c o s (θ) y & - & s e n (θ) z & = & 2025 \\ c o s (θ) x & + & s e n (θ) y & - & c o s (θ) z & = & 2026 \\ s e n (θ) & \cdot & c o s (θ) x & + & c o s^{2} (θ) y & + & s e n (θ) & \cdot & c o s (θ) z & = & 2030 \end{matrix} \end{cases}$

O conjunto de todos os valores de $θ$ que tornam o sistema impossível é:

Alternativas

A
$\{0\}$
B
$\{k π | k \in ℤ\}$
C
$\{\frac{k π}{2} | k \in ℤ\}$
D
$\{\frac{k π}{2} + \frac{π}{4} | k \in ℤ\}$
E
$\{\frac{k π}{2} + \frac{π}{3} | k \in ℤ\}$

Gabarito:
C

Inicialmente, para que o sistema seja impossível, é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo:

$|\begin{matrix} senθ & - cosθ & - senθ \\ cosθ & senθ & - cosθ \\ senθcosθ & \cos^{2} θ & senθcosθ \end{matrix}| = cosθ |\begin{matrix} senθ & - cosθ & - senθ \\ cosθ & senθ & - cosθ \\ senθ & cosθ & senθ \end{matrix}| = cosθ |\begin{matrix} senθ & - cosθ & - senθ \\ cosθ & senθ & - cosθ \\ 2 senθ & 0 & 0 \end{matrix}| = 2 senθcosθ = 0$

Assim: $senθ = 0$ ou $cosθ = 0$

Daqui, conclui-se que:

Caso 1: $cosθ = 0 e senθ = 1$ (I) ou $cosθ = 0 e senθ = - 1$ (II)

$(I) \{\begin{cases} x - z = 2025 \\ y = 2026 \\ 0 x + 0 y + 0 z = 2030 \end{cases}$ e $(II) \{\begin{cases} - x + z = 2025 \\ - y = 2026 \\ 0 x + 0 y + 0 z = 2030 \end{cases}$

Os sistemas (I) e (II) são impossíveis.

Ou ainda:

Caso 2: $senθ = 0 e cosθ = 1$ (III) ou $senθ = 0 e cosθ = - 1$ (IV)

$(III) \{\begin{matrix} - y = 2025 \\ x - z = 2026 \\ y = 2030 \end{matrix}$ e $(IV) \{\begin{matrix} y = 2025 \\ - x + z = 2026 \\ y = 2030 \end{matrix}$

Os sistemas (III) e (IV) são impossíveis.

Logo, $θ = \frac{kπ}{2}, k \in ℤ .$

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