Dissertativa 1 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2026

Dado $\mathrm{z}=\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta i}$, em que $\mathrm{\alpha }, \mathrm{\beta }\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, tem-se:

${\mathrm{z}}^3=-9+46\mathrm{i}$

${\left(\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta i}\right)}^3=-9+46\mathrm{i}$

${\mathrm{\alpha }}^3+3{\mathrm{\alpha }}^2\mathrm{\beta i}+3{\mathrm{\alpha \beta }}^2{\mathrm{i}}^2+{\mathrm{\beta }}^3{\mathrm{i}}^3=-9+46\mathrm{i}$

$\left({\mathrm{\alpha }}^3-3{\mathrm{\alpha \beta }}^2\right)+\left(3{\mathrm{\alpha }}^2\mathrm{\beta }-{\mathrm{\beta }}^3\right)\mathrm{i}=-9+46\mathrm{i}$

Sendo assim:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\alpha }}^3-3{\mathrm{\alpha \beta }}^2=-9 \left(\mathrm{I}\right)\\ 3{\mathrm{\alpha }}^2\mathrm{\beta }-{\mathrm{\beta }}^3=46 \left(\mathrm{II}\right)\end{array}\right.$

Analisando a equação (I):

${\mathrm{\alpha }}^3-3{\mathrm{\alpha \beta }}^2=-9\to {\mathrm{\alpha }}^3=3\left({\mathrm{\alpha \beta }}^2-3\right)$

Desse modo, nota-se que $\alpha$ é múltiplo de 3. Também:

${\mathrm{\alpha }}^3-3{\mathrm{\alpha \beta }}^2=-9$

$\mathrm{\alpha }\left({\mathrm{\alpha }}^2-3{\mathrm{\beta }}^2\right)=-9$

Como $\alpha$ é múltiplo de 3, verificam-se as seguintes possibilidades:

Caso 1: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\alpha }=3\\ {\mathrm{\alpha }}^2-3{\mathrm{\beta }}^2=-3\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\beta }=\pm 2$

Caso 2: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\alpha }=-3\\ {\mathrm{\alpha }}^2-3{\mathrm{\beta }}^2=3\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\beta }\notin \mathrm{\mathbb{Z}}$

Caso 3: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\alpha }=9\\ {\mathrm{\alpha }}^2-3{\mathrm{\beta }}^2=-1\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\beta }\notin \mathrm{\mathbb{Z}}$

Caso 4: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\alpha }=-9\\ {\mathrm{\alpha }}^2-3{\mathrm{\beta }}^2=1\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\beta }\notin \mathrm{\mathbb{Z}}$

Desse modo, os candidatos à solução do sistema são $\left(3,2\right)$ e $\left(3,-2\right)$.

Substituindo em (II), tem-se $\left(3,2\right)$ como solução única.

Assim, $\boxed{\mathrm{\alpha }=3}$ e $\boxed{\mathrm{\beta }=2}$