Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2026

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Matemática
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Questão 4

Dissertativa

Seja $i$ tal que $i^{2} = - 1$ . Determine os valores do complexo $z$ que satisfazem a equação

$i (\frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}} + \frac{z^{2} + {(\bar{z})}^{2}}{z^{2} - {(\bar{z})}^{2}}) - (\frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}}) (\frac{z^{2} + {(\bar{z})}^{2}}{z^{2} - {(\bar{z})}^{2}}) = 1$

em que $\bar{z}$ representa o conjugado de $z$ .

Resolução:

Seja $z = a + bi$ . Desse modo:

$z + \bar{z} = a + bi + a - bi = 2 a$
$z - \bar{z} = a + bi - (a - bi) = 2 bi$
$z^{2} + {(\bar{z})}^{2} = {(a + bi)}^{2} + {(a - bi)}^{2} = 2 (a^{2} - b^{2})$
$z^{2} - {(\bar{z})}^{2} = {(a + bi)}^{2} - {(a - bi)}^{2} = 4 abi$

Desse modo, a equação pode ser reescrita como:

$i (\frac{2 a}{2 bi} + \frac{2 (a^{2} - b^{2})}{4 abi}) - \frac{2 a}{2 bi} \cdot \frac{2 (a^{2} - b^{2})}{4 abi} = 1$

Desenvolvendo e simplificando a expressão:

$(\frac{a}{b} + \frac{a^{2} - b^{2}}{2 ab}) - \frac{a^{2} - b^{2}}{2 b^{2} i^{2}} = 1 \frac{a}{b} + \frac{a^{2} - b^{2}}{2 ab} + \frac{a^{2} - b^{2}}{2 b^{2}} = 1$

Multiplicando ambos os lados da equação por $2 {ab}^{2}$ :

$2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3} + a^{3} - {ab}^{2} = 2 {ab}^{2}$

Assim:

$a^{3} + 3 a^{2} b - 3 {ab}^{2} - b^{3} = 0 (a^{3} - b^{3}) + (3 a^{2} b - 3 {ab}^{2}) = 0 (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) + 3 ab (a - b) = 0 (a - b) (a^{2} + 4 ab + b^{2}) = 0$

Caso 1: $a = b$

Caso 2: $a^{2} + 4 ab + b^{2} = 0 \Rightarrow 4 a^{2} + 4 ab + b^{2} - 3 a^{2} = 0 \Rightarrow {(2 a + b)}^{2} = 3 a^{2} \Rightarrow 2 a + b = \pm a \sqrt{3} \Rightarrow b = a (- 2 \pm \sqrt{3})$

Desse modo,

$z = a + a i ou z = a + a (- 2 \pm \sqrt{3}) i, c o m a \in ℝ *$

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