Dissertativa 10 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2026

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Questão 10

Dissertativa

Seja o tetraedro regular ABCD de aresta a e a esfera inscrita no mesmo. Considerando cada vértice, traça-se um plano distinto da base oposta, paralelo a esta base e tangente à esfera. Um novo tetraedro é então formado a partir do vértice A e dos novos vértices definidos pela interseção do novo plano traçado, paralelo à base BCD, com o tetraedro ABCD. Analogamente faz-se o mesmo processo para os vértices B, C e D. Em seguida, inscreve-se uma esfera em cada novo tetraedro criado. Repete-se o processo de forma indefinida. Calcule em função de a o volume ocupado por todas as esferas interiores ao tetraedro ABCD.

Resolução:

Sabe-se que:

1) A altura h do tetraedro regular de aresta a é dada por:

$h = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

2) O raio da esfera inscrita no tetraedro é dado por:

$r = \frac{h}{4} = \frac{a \sqrt{6}}{12}$

E seu volume é dado por:

$v_{o} = \frac{4 π}{3} r^{3} = \frac{4 π}{3} {(\frac{a \sqrt{6}}{12})}^{3} = \frac{π \sqrt{6}}{216} a^{3}$

Assim, o plano paralelo à face BCD que tangencia a esfera inscrita distará $2 r = \frac{h}{2}$ de BCD, passando pelos pontos médios M, N e P de $AB, AC e AD$ . O tetraedro AMNP é semelhante a ABCD com razão de semelhança $k = \frac{1}{2}$ . O raio da esfera inscrita em AMNP é, portanto, metade do raio da esfera inscrita em ABCD, sendo seu volume igual a $k^{3} = \frac{1}{8}$ de $v_{0}$ .

De maneira análoga, os planos paralelos às outras faces de ABCD delimitarão esferas com volume de $\frac{1}{8}$ de $v_{0}$ . Dessa forma, nesse primeiro passo, criam-se 4 esferas com volume $\frac{1}{8}$ de $v_{0}$ .

O processo segue de maneira recursiva: cada novo tetraedro dá origem a 4 novos tetraedros e a 4 novas esferas com volume $\frac{1}{8}$ do volume do passo anterior, ou seja, a cada novo termo da soma multiplicam-se as esferas por 4 e o volume de cada esfera por $\frac{1}{8}$ .

A soma dos volumes de todas as esferas será dada por:

$v = v_{0} + 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot v_{0} + 4^{2} \cdot \frac{1}{8^{2}} v_{0} + 4^{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} v_{0} + 4^{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} v_{0} + . . .$

$v = v_{0} + \frac{1}{2} v_{0} + \frac{1}{2^{2}} v_{0} + \frac{1}{2^{3}} v_{0} + . . . = \frac{v_{0}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 v_{0}$

$v = 2 \cdot \frac{π \sqrt{6}}{216} a^{3} = \frac{π \sqrt{6}}{108} a^{3}$

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