Dissertativa 2 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2026

Tem-se:

${\mathrm{x}}^4+{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^3+14{\mathrm{x}}^3+\frac{147}{2}{\mathrm{x}}^2+\frac{7^3}{2}\mathrm{x}=-\frac{7^4}{16}$

$\left({\mathrm{x}}^4+14{\mathrm{x}}^3+\frac{147}{2}{\mathrm{x}}^2+\frac{7^3}{2}\mathrm{x}+\frac{7^4}{16}\right)+{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^3=0$

$\left({\mathrm{x}}^4+4·{\mathrm{x}}^3·\frac{7}{2}+6·{\mathrm{x}}^2·\frac{7^2}{2^2}+4·\mathrm{x}·\frac{7^3}{2^3}+\frac{7^4}{2^4}\right)+{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^3=0$

Note que a primeira parcela representa o desenvolvimento por binômio de Newton de ${\left(\mathrm{x}+\frac{7}{2}\right)}^4$.

Assim:

${\left(\mathrm{x}+\frac{7}{2}\right)}^4+{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^3=0\Rightarrow \frac{1}{2^4}{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^4+{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^3=0\Rightarrow {\left(2\mathrm{x}+7\right)}^3\left(\frac{2\mathrm{x}+7}{2^4}+1\right)=0$

Desse  modo:

Caso 1:   $2\mathrm{x}+7=0\Rightarrow \mathrm{x}=-\frac{7}{2}$

Caso 2:   $\frac{2\mathrm{x}+7}{2^4}+1=0\Rightarrow 2\mathrm{x}+7=-16\Rightarrow \mathrm{x}=-\frac{23}{2}$

Assim:   $\boxed{\mathrm{x}=-\frac{7}{2}}$ ou  $\boxed{x=-\frac{23}{2}}$