Dissertativa 5 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2026

O enunciado decorre imediatamente da desigualdade das médias. Para x, y e z reais não negativos:

$\frac{\mathrm{x} + \mathrm{y} + \mathrm{z}}{3} \ge \sqrt[3]{\mathrm{xyz}}$

Fazendo-se $\mathrm{x} = \mathrm{a}, \mathrm{y} = \mathrm{b}$ e $\mathrm{z} = \mathrm{c}$:

$\frac{\mathrm{a} + \mathrm{b} +\mathrm{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\mathrm{abc}} \Rightarrow \mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c} \ge 3 \sqrt[3]{\mathrm{abc}} \left(\mathrm{I}\right)$

Fazendo-se $\mathrm{x} = \frac{1}{\mathrm{a}}, \mathrm{y} = \frac{1}{\mathrm{b}}$ e $\mathrm{z} = \frac{1}{\mathrm{c}}$:

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{a}}} + {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{b}}} + {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{c}}}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{a}}·\frac{1}{\mathrm{b}}·\frac{1}{\mathrm{c}}} \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{a}} + \frac{1}{\mathrm{b}} + \frac{1}{\mathrm{c}} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{\mathrm{abc}}} \left(\mathrm{II}\right)$

Como ambos os membros de cada desigualdade são positivos, pode-se multiplicá-los. Assim:

$\left(\mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{a}} + \frac{1}{\mathrm{b}} + \frac{1}{\mathrm{c}}\right) \ge 3\sqrt[3]{\mathrm{abc}}·\frac{3}{\sqrt[3]{\mathrm{abc}}} \Rightarrow \boxed{ \left(\mathrm{a} + \mathrm{b} + \mathrm{c}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{a}} + \frac{1}{\mathrm{b}} + \frac{1}{\mathrm{c}}\right) \ge 9}$

Como se queria demonstrar.

Observação: Caso o estudante tivesse tempo durante a prova, conviria demonstrar a desigualdade das médias para três termos, evitando-se, assim, possíveis penalizações da banca. A seguir, uma maneira de fazê-lo.

Faz-se a mudança de variável $\mathrm{x} = {\mathrm{p}}^3, \mathrm{y} = {\mathrm{q}}^3$ e $\mathrm{z} = {\mathrm{r}}^3$, para p, q e r não negativos:

$\frac{\mathrm{x} + \mathrm{y} +\hspace{0.17em}\mathrm{z}}{3} \ge \sqrt[3]{\mathrm{xyz}} \iff \frac{{\mathrm{p}}^3 + {\mathrm{q}}^3 +\hspace{0.17em}{\mathrm{r}}^3}{3} \ge \mathrm{pqr} \iff {\mathrm{p}}^3 + {\mathrm{q}}^3 +\hspace{0.17em}{\mathrm{r}}^3 - 3\mathrm{pqr} \ge 0$

O lado esquerdo da desigualdade pode ser fatorado:

${\mathrm{p}}^3 + {\mathrm{q}}^3 +\hspace{0.17em}{\mathrm{r}}^3 - 3\mathrm{pqr} \ge 0 \iff \left(\mathrm{p} + \mathrm{q} + \mathrm{r}\right)\left({\mathrm{p}}^2 + {\mathrm{q}}^2 + {\mathrm{r}}^2 - \mathrm{pq} - \mathrm{pr} - \mathrm{qr}\right) \ge 0$

Como p, q e r são não negativos, $\left(\mathrm{p} + \mathrm{q} +\hspace{0.17em}\mathrm{r}\right)$ também o é. Portanto, basta mostrar que:

${\mathrm{p}}^2 + {\mathrm{q}}^2 + {\mathrm{r}}^2 - \mathrm{pq} - \mathrm{pr} - \mathrm{qr} \ge 0$

Com efeito:

$$\begin{gathered} {\mathrm{p}}^2 + {\mathrm{q}}^2 + {\mathrm{r}}^2 - \mathrm{pq} - \mathrm{pr} - \mathrm{qr} \ge 0 \\ \iff 2{\mathrm{p}}^2 + 2{\mathrm{q}}^2 + 2{\mathrm{r}}^2 - 2\mathrm{pq} - 2\mathrm{pr} - 2\mathrm{qr} \ge 0 \\ \iff \left({\mathrm{p}}^2 - 2\mathrm{pq} +\hspace{0.17em}{\mathrm{q}}^2\right) + \left({\mathrm{p}}^2 - 2\mathrm{pr} + {\mathrm{r}}^2\right) + \left({\mathrm{q}}^2 - 2\mathrm{qr} + {\mathrm{r}}^2\right) \ge 0 \\ \iff {\left(\mathrm{p} - \mathrm{q}\right)}^2 + {\left(\mathrm{p} - \mathrm{r}\right)}^2 + {\left(\mathrm{q} - \mathrm{r}\right)}^2 \ge 0 \end{gathered}$$

Como cada uma das parcelas é não negativa, sua soma também o é, o que conclui a demonstração.