Dissertativa 6 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2026

Inicialmente, é preciso perceber que uma solução possível é a sequência $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right)$ sendo uma progressão aritmética, pois:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} + 2\mathrm{y} + \mathrm{z} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}}\\ \mathrm{x} + 3\mathrm{y} + \mathrm{z} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}+1}\\ \mathrm{x} + 4\mathrm{y} + \mathrm{z} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}+2}\end{array}\right.$

Subtraindo as equações duas a duas, obtêm-se:

$$\begin{gathered} \mathrm{y} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}+1} - {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}} \\ \mathrm{y} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}+2} - {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}+1} \end{gathered}$$         para cada j.

Agora, colocando-se $\mathrm{j} = \mathrm{k}$, obtêm-se $\mathrm{y} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1} - {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}$ e $\mathrm{y} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+2} - {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}$.

E, colocando-se $\mathrm{j} = \mathrm{k} + 1$, obtêm-se $\mathrm{y} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+2} - {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}$ e $\mathrm{y} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+3} - {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+2}$.

De onde conclui-se que uma solução possível é com o valor de y igual para cada j e a diferença entre dois termos consecutivos é uma constante, o próprio y.

Como ${\mathrm{a}}_1 = 1$ e ${\mathrm{a}}_4 = 10$, tem-se que a razão da PA é r = 3.

Logo, uma solução para cada sistema é $\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}, 3, {\mathrm{z}}_{\mathrm{j}}\right)$, com ${\mathrm{x}}_{\mathrm{j}} + {\mathrm{z}}_{\mathrm{j}} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}} - 6$ e ${\mathrm{x}}_{\mathrm{j}} + {\mathrm{y}}_{\mathrm{j}} + {\mathrm{z}}_{\mathrm{j}} = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}} - 6 + 3 = {\mathrm{a}}_{\mathrm{j}} - 3$. 

Portanto:

$\sum _{\mathrm{j}=1}^{2025}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{j}} + {\mathrm{y}}_{\mathrm{j}} + {\mathrm{z}}_{\mathrm{j}}\right) = \sum _{\mathrm{j}=1}^{2025}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{j}}\right) - 2 025 · 3 = \frac{\left(1 +\hspace{0.17em}6 073\right)2 025}{2}- 6 075 = \boxed{6 143 850}$