Dissertativa 1 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2026

a) Para que ocorra movimento oscilatório é preciso inicialmente de um equilíbrio estável:

$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow -4\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2=0\Rightarrow \mathrm{x}=0 \mathrm{ou} \mathrm{x}=4$

Porém, é preciso verificar se ambos se tratam de equilíbrios estáveis, por enquanto sabe-se apenas que são pontos de equilíbrio. Para isso, sendo ${\mathrm{x}}_0$ um ponto de equilíbrio e $\mathrm{\Delta x}$ o pequeno deslocamento em relação ao equilíbrio, é necessário que $\mathrm{F}\left({\mathrm{x}}_0+\mathrm{\Delta x}\right)·\mathrm{\Delta x}<0$ para que a força seja restauradora.

Para ${\mathrm{x}}_0=0$:

$\mathrm{F}\left(0+\mathrm{\Delta x}\right)·\mathrm{\Delta x}=\left(-4\mathrm{\Delta x}+{\mathrm{\Delta x}}^2\right)\mathrm{\Delta x}={\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2\left(\mathrm{\Delta x}-4\right)$

Como $\left|\mathrm{\Delta x}\right|\ll 4$:

$\mathrm{F}\left(0+\mathrm{\Delta x}\right)·\mathrm{\Delta x}\approx -4{\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2<0$ para todo $\mathrm{\Delta x}$ pequeno$\Rightarrow$ Estável.

Para ${\mathrm{x}}_0=4$:

$$\begin{gathered} \mathrm{F}\left(4+\mathrm{\Delta x}\right)·\mathrm{\Delta x}=\left(-4\left(4+\mathrm{\Delta x}\right)+{\left(4+\mathrm{\Delta x}\right)}^2\right)\mathrm{\Delta x} \\ \mathrm{F}\left(4+\mathrm{\Delta x}\right)·\mathrm{\Delta x}=\left(-16-4\mathrm{\Delta x}+16+8\mathrm{\Delta x}+{\mathrm{\Delta x}}^2\right)\mathrm{\Delta x} \\ \mathrm{F}\left(4+\mathrm{\Delta x}\right)·\mathrm{\Delta x}=\left(4\mathrm{\Delta x}+{\mathrm{\Delta x}}^2\right)\mathrm{\Delta x}={\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2\left(4+\mathrm{\Delta x}\right) \end{gathered}$$

Como $\left|\mathrm{\Delta x}\right|\ll 4$:

$\mathrm{F}\left(4+\mathrm{\Delta x}\right)·\mathrm{\Delta x}\approx 4{\left(\mathrm{\Delta x}\right)}^2>0$ para todo $\mathrm{\Delta x}$ pequeno $\Rightarrow$ Instável.

Portanto, só tem-se equilíbrio estável, o que permite movimento oscilatório, em torno de $\mathrm{x}=0$. Como em $\mathrm{x}=4$ tem-se equilíbrio instável, caso a partícula tenha energia para chegar até $\mathrm{x}=4$, não haverá força restauradora, então $\mathrm{x}<4$.

Porém, caso a partícula esteja em $\mathrm{x}<0$ com energia potencial suficiente para chegar em $\mathrm{x}\ge 4$, também deixará de oscilar ao passar de $\mathrm{x}=4$.

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{x}}^2-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}=2{\left(4\right)}^2-\frac{{\left(4\right)}^3}{3}=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \\ 6{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^3=32\Rightarrow {\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+32=0 \end{gathered}$$

Apesar de ser uma equação do terceiro grau, sabe-se que $\mathrm{x}=4$ é raiz (dupla, por sinal).

${\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+32\equiv {\left(\mathrm{x}-4\right)}^2\left(\mathrm{x}+2\right)$

Então, em $\mathrm{x}=-2$ tem-se a mesma energia que em $\mathrm{x}=4$. Pelo gráfico do enunciado, se $\mathrm{x}\le -2$, a energia potencial aumenta. Ou seja, só há movimento oscilatório se: $\boxed{-2<\mathrm{x}<4}$

Observação: também é possível pensar qualitativamente desde o início que, para que exista um movimento oscilatório, a partícula precisa estar “presa” em um poço de potencial, o que ocorre entre $\mathrm{x}=4$ e $\mathrm{x}=-2$.

b) A existência de uma máxima energia potencial foi discutida no item a) e vale:

${\mathrm{E}}_{\sup }=2{\left(4\right)}^2-\frac{4{\left(4\right)}^3}{3}\Rightarrow \boxed{{\mathrm{E}}_{\sup }=\frac{32}{3} \mathrm{J}}$

c)

• Inicialmente, a partícula ganha ${\mathrm{E}}_{\mathrm{P}}$ e perde cinética até atingir um valor máximo de $\left|x\right|$ com $\mathrm{x}<0$, instante ${\mathrm{T}}_1$.
• A partícula então faz o caminho de volta passando por x = 0 com a mesma velocidade, mas no sentido oposto (direita), instante ${\mathrm{T}}_2$.
• Perde energia cinética enquanto ganha ${\mathrm{E}}_{\mathrm{P}}$ até atingir x = 4 (tem energia suficiente para isso, visto que $\mathrm{E}>{\mathrm{E}}_{\sup }$), instante ${\mathrm{T}}_3$.
• Ao passar de x = 4, a força resultante positiva faz com que a partícula ganhe cada vez mais velocidade e, consequentemente, perca energia potencial.

Segue então o esboço do gráfico: