Dissertativa 10 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2026

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Física
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Questão 10

Dissertativa

Sejam dois cilindros coaxiais de raios $R$ e $r$ , com $R > r$ . O cilindro de raio $R$ tem sua superfície interna espelhada, enquanto a superfície externa do cilindro de raio $r$ também é espelhada.

Um feixe estreito de luz se propaga entre os espelhos em um plano perpendicular ao eixo dos cilindros. O feixe luminoso parte do ponto A, é refletido no ponto B e, a partir daí, continua sua trajetória entre os espelhos.

Considerando que o sistema esteja ajustado à razão $r / R = \sqrt{3} / 2$ para que haja $n$ pontos de reflexão em cada espelho, onde $n \in ℕ$ , e que os raios se sobrepõem após uma volta, calcule:

a) a expressão de $\tan θ$ em função de $n$ .
b) os valores possíveis de $n$ .

Resolução:

a) A figura a seguir ilustra a trajetória seguida pelo raio de luz:

Condição para o raio voltar ao ponto inicial:

$n \cdot R \cdot 2 φ = 2 πR \Rightarrow φ = \frac{π}{n}$

Lei dos senos:

$\frac{sen (180 ° - θ)}{R} = \frac{senγ}{r} \Rightarrow \frac{senθ}{R} = \frac{sen (θ - φ)}{r} \Rightarrow \frac{sen (θ - φ)}{senθ} = \frac{r}{R}$

$\frac{senθ \cdot cosφ - senφ \cdot cosθ}{senθ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2 senθ \cdot cosφ - 2 senφ \cdot cosθ = \sqrt{3} senθ$

$2 tgθ \cdot cosφ - 2 senφ = \sqrt{3} tgθ \Rightarrow tgθ = \frac{2 senφ}{2 cosφ - \sqrt{3}}$

$tgθ = \frac{2 sen (π / n)}{2 \cos (π / n) - \sqrt{3}}$

b) Como $0 < θ < π / 2$ :

$tgθ > 0 \Rightarrow 2 \cos (\frac{π}{n}) - \sqrt{3} > 0 \Rightarrow \cos (\frac{π}{n}) > \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{π}{n} < \frac{π}{6} \Rightarrow n > 6$

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