Dissertativa 3 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2026

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Gabarito

Física
1. 1DIS
2. 2DIS
3. 3DIS
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6. 6DIS
7. 7DIS
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9. 9DIS
10. 10DIS

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Questão 3

Dissertativa

Uma pequena esfera é presa ao ponto $A$ indicado na figura por um fio de comprimento $ℓ$ . Abaixo e na mesma vertical de $A$ , a uma distância $d$ , há o ponto $B$ , de forma que uma barra delgada imóvel é fixada entre $A$ e $B$ .

Em um determinado momento, a esfera é posicionada à direita de $A$ , de maneira que o fio esteja esticado na horizontal. Na sequência, a esfera é solta, passando a movimentar-se em uma trajetória que descreve um quarto de circunferência em torno de $A$ e, ao passar por baixo do ponto $B$ , parte do fio encosta e gruda na barra e a esfera continua seu movimento.

Dado:

aceleração da gravidade: $g$ .

Observação:

o fio é inextensível e de massa desprezível.

Determine, em função de $ℓ$ e de acordo com o contexto apresentado:

a) o valor mínimo de $d$ para que a trajetória descrita pela esfera após passar por baixo de $B$ seja uma semicircunferência;

b) o raio de curvatura instantâneo, caso $d = 3 / 7 l$ , da trajetória da esfera em seu ponto mais alto após ter passado por baixo do ponto $B$ .

Resolução:

a) O valor mínimo de d é aquele no qual a bolinha chega no ponto mais alto da trajetória com tração nula.

Pela conservação de energia:

$E_{{mec}_{i}} = E_{{mec}_{f}} \Rightarrow mg l = mg \cdot 2 r + \frac{{mv}^{2}}{2} \Rightarrow 2 g l = 4 g \cdot (l - d) + v^{2} \Rightarrow v^{2} = 2 g (2 d - l)$

No ponto mais alto:

$R_{cp} = mg = \frac{{mv}^{2}}{r} \Rightarrow v^{2} = gr \Rightarrow v^{2} = g (l - d)$

Igualando as duas equações acima:

$2 g (2 d - l) = g (l - d) \Rightarrow d = \frac{3 l}{5}$

b) Nesta nova condição, o fio se afrouxa antes de atingir o ponto mais alto.

$r = l - d = l - \frac{3 l}{7} \Rightarrow r = \frac{4 l}{7}$

A figura a seguir ilustra o momento em que o fio se afrouxa:

Pela conservação de energia:

$E_{{mec}_{i}} = E_{{mec}_{f}} \Rightarrow mg l = mg \cdot r (1 + cosθ) + \frac{{mv}^{2}}{2} \Rightarrow 2 g l = 2 g \cdot \frac{4 l}{7} \cdot (1 + cosθ) + v^{2} v^{2} = \frac{2 g l}{7} (3 - 4 cosθ)$

No ponto em que o fio se afrouxa:

$R_{cp} = mgcosθ = \frac{{mv}^{2}}{r} \Rightarrow v^{2} = \frac{4 g l}{7} \cdot cosθ$

Igualando as duas equações acima:

$\frac{2 g l}{7} (3 - 4 cosθ) = \frac{4 g l}{7} cosθ \Rightarrow cosθ = \frac{1}{2}$

Logo:

$v^{2} = \frac{4 g l}{7} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow v^{2} = \frac{2 g l}{7}$

A partir do momento em que o fio se afrouxa, a esfera realiza um lançamento oblíquo e, no ponto mais alto, o raio de curvatura instantâneo $ρ$ é tal que:

$R_{cp} = mg = \frac{m {(vcosθ)}^{2}}{ρ} \Rightarrow g \cdot ρ = v^{2} \cdot \cos^{2} θ \Rightarrow g \cdot ρ = \frac{2 g l}{7} \cdot \frac{1}{4} \Rightarrow ρ = \frac{l}{14}$

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