Dissertativa 7 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2026

a) No equilíbrio eletrostático, o sistema da Figura 1 tem suas cargas distribuídas da seguinte forma:

A: Carga $+\mathrm{Q}$ fixa no centro;

B: Carga $-\mathrm{Q}$ distribuída uniformemente em uma esfera de raio $\mathrm{a}$;

C: Carga $+\mathrm{Q}$ distribuída uniformemente em uma esfera de raio $2\mathrm{a}$.

Assim, o potencial em qualquer ponto é dado por ${\mathrm{V}}_1={\mathrm{V}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{C}}$.

Em $\mathrm{r}=\text{a}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{V}}_1\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{k}\left(-\mathrm{Q}\right)}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{kQ}}{2\mathrm{a}} \\ \Rightarrow \boxed{{\mathrm{V}}_1\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{2\mathrm{a}}} \end{gathered}$$

b) No equilíbrio eletrostático, o sistema da Figura 2 tem suas cargas distribuídas da seguinte forma:

A: Carga $+\mathrm{Q}$ fixa no centro;

B: Carga $-\mathrm{Q}$ distribuída uniformemente em uma esfera de raio $2\mathrm{a}$;

C: Carga $+\mathrm{Q}$ distribuída uniformemente em uma esfera de raio $3\mathrm{a}$.

Assim, o potencial em qualquer ponto é dado por ${\mathrm{V}}_2={\mathrm{V}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{C}}$.

Para $\mathrm{r}\le 2\mathrm{a}$:

${\mathrm{V}}_2\left(\mathrm{r}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{\mathrm{r}}+\frac{\mathrm{k}\left(-\mathrm{Q}\right)}{2\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{kQ}}{3\mathrm{a}}\Rightarrow {\mathrm{V}}_2\left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{kQ}\left(\frac{1}{\mathrm{r}}-\frac{1}{6\mathrm{a}}\right)$

Para $2\mathrm{a}<\mathrm{r}\le 3\mathrm{a}$:

${\mathrm{V}}_2\left(\mathrm{r}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{\mathrm{r}}+\frac{\mathrm{k}\left(-\mathrm{Q}\right)}{\mathrm{r}}+\frac{\mathrm{kQ}}{3\mathrm{a}}\Rightarrow {\mathrm{V}}_2\left(\mathrm{r}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{3\mathrm{a}}$

Para $\mathrm{r}>3\mathrm{a}$:

${\mathrm{V}}_2\left(\mathrm{r}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{\mathrm{r}}+\frac{\mathrm{k}\left(-\mathrm{Q}\right)}{\mathrm{r}}+\frac{\mathrm{kQ}}{\mathrm{r}}\Rightarrow {\mathrm{V}}_2\left(\mathrm{r}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{\mathrm{r}}$

Nos pontos pedidos:

$$\begin{gathered} \boxed{{\mathrm{V}}_2\left(\mathrm{a}\right)=\frac{5\mathrm{kQ}}{6\mathrm{a}}} \\ \boxed{{\mathrm{V}}_2\left(2\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{3\mathrm{a}}} \\ \boxed{{\mathrm{V}}_2\left(3\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{kQ}}{3\mathrm{a}}} \end{gathered}$$

c) Por indução, ambas as superfícies internas ficam com carga $-\mathrm{Q}$. Assim, a carga total das superfícies externas é de $+2\mathrm{Q}$ por conservação de carga de forma que uma delas fica com $+\mathrm{q}$ e a outra com $2\mathrm{Q}-\mathrm{q}$, em que $\mathrm{q}$ será determinado.

No equilíbrio eletrostático, tem-se ${\mathrm{V}}_1={\mathrm{V}}_2$:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{kq}}{2\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{k}\left(2\mathrm{Q}-\mathrm{q}\right)}{3\mathrm{a}} \\ 3\mathrm{q}=2\left(2\mathrm{Q}-\mathrm{q}\right)=4\mathrm{Q}-2\mathrm{q} \\ 5\mathrm{q}=4\mathrm{Q} \\ \Rightarrow \mathrm{q}=\frac{4\mathrm{Q}}{5} \\ \Rightarrow 2\mathrm{Q}-\mathrm{q}=\frac{6\mathrm{Q}}{5} \end{gathered}$$

Portanto, as cargas externas são iguais a $\boxed{\frac{4\mathrm{Q}}{5}}$ na casca de raio $2\mathrm{a}$ e $\boxed{\frac{6\mathrm{Q}}{5}}$ na casca de raio $3\mathrm{a}$.