Dissertativa 2 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2026

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Gabarito

Física
1. 1DIS
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3. 3DIS
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10. 10DIS

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Questão 2

Dissertativa

Um sistema planetário muito distante é composto por dois planetas A e B que executam ambos órbitas circulares em torno da estrela S. Um cometa C estava em rota de colisão frontal com A. Depois da colisão, foi possível observar que o choque foi perfeitamente inelástico e quando os corpos se moviam em sentido contrário, gerando assim o novo planeta, chamado CA, agora com órbita elíptica em torno de S.

Dados:

tempo de órbita completa de A em torno de S (antes da colisão): 160 dias de A;
1 dia de A (antes da colisão): 4 dias terrestres;
tempo de órbita completa de B em torno de S: 90 dias de B;
1 dia de B: 3 dias terrestres;
para um corpo fixo na superfície de CA, imediatamente após o choque, a força de gravidade provocada por S é 0,081% da força de gravidade provocada por CA;
para um corpo fixo na superfície de B, a força de gravidade provocada por S é 2,048% da força de gravidade provocada por B;
dimensões de CA (depois da colisão) = dimensões de A (antes da colisão) = dimensões de B;
a energia mecânica (cinética mais potencial gravitacional) de CA (após a colisão) é 7 vezes a energia mecânica de B, sendo ambas negativas.

Observações:

despreze o efeito gravitacional da aproximação do cometa C nas trajetórias dos planetas A e B;
despreze a interação gravitacional entre os planetas A e B;
o potencial gravitacional no infinito é nulo;
os raios de A e B são muito menores que os raios de suas órbitas.

Considerando o cenário descrito, determine:

a) a razão entre os raios das órbitas de A e B;

b) a razão entre as velocidades das órbitas de A e B;

c) a razão entre as massas de B e CA;

d) a razão entre a velocidade de órbita de B e a velocidade de CA imediatamente após o choque;

e) se, imediatamente após o choque, CA estará em apoastro (ponto da órbita mais afastado de S) ou em periastro (ponto da órbita mais próximo de S), justificando a sua resposta.

Resolução:

a) Da 3ª Lei de Kepler:

$\frac{T_{A}^{2}}{R_{A}^{3}} = \frac{T_{B}^{2}}{R_{B}^{3}} \Rightarrow {(\frac{160 \cdot 4}{90 \cdot 3})}^{2} = {(\frac{R_{A}}{R_{B}})}^{3} \Rightarrow \frac{R_{A}}{R_{B}} = \frac{16}{9}$

b) Em uma órbita circular de raio r em torno da estrela M, a velocidade vale $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ . Assim:

$\{\begin{array}{l} v_{A} = \sqrt{\frac{GM}{R_{A}}} \\ v_{B} = \sqrt{\frac{GM}{R_{B}}} \end{array} \Rightarrow \frac{v_{A}}{v_{B}} = \sqrt{\frac{R_{B}}{R_{A}}} = \sqrt{\frac{9}{16}} \Rightarrow \frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{3}{4}$

c) Força provocada por S: $\frac{GMm}{R_{B}^{2}}$

Força provocada por B: $\frac{{Gm}_{B} m}{d^{2}}$

Logo: $\frac{GMm}{R_{B}^{2}} = 2, 048 % \frac{{Gm}_{B} m}{d^{2}}$ (I)

Analogamente, analisando-se o planeta CA: $\frac{GMm}{R_{A}^{2}} = 0, 081 % \frac{{Gm}_{CA} m}{d^{2}}$ (II)

Fazendo (I) $\div$ (II): $\frac{R_{A}^{2}}{R_{B}^{2}} = \frac{2048 m_{B}}{81 m_{CA}} \Rightarrow \frac{2^{8}}{3^{4}} = \frac{2^{11} \cdot m_{B}}{3^{4} \cdot m_{CA}} \Rightarrow \frac{m_{B}}{m_{CA}} = \frac{1}{8}$

d) Do enunciado:

$7 (\frac{m_{B} v_{B}^{2}}{2} - \frac{{GMm}_{B}}{R_{B}}) = \frac{m_{CA} v_{CA}^{2}}{2} - \frac{{GMm}_{CA}}{R_{A}}$

Utilizando-se de $v_{B}^{2} = \frac{GM}{R_{B}}$ e $v_{A}^{2} = \frac{GM}{R_{A}}$ :

$7 m_{B} (\frac{v_{B}^{2}}{2} - v_{B}^{2}) = m_{CA} (\frac{v_{CA}^{2}}{2} - v_{A}^{2}) \Rightarrow - 7 \frac{m_{B} \cdot v_{B}^{2}}{m_{CA} \cdot 2} = \frac{v_{CA}^{2}}{2} - v_{A}^{2}$

Dos resultados dos itens b) e c):

$- 7 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{v_{B}^{2}}{2} = \frac{v_{CA}^{2}}{2} - \frac{9 v_{B}^{2}}{16} \Rightarrow - 7 v_{B}^{2} = 8 v_{CA}^{2} - 9 v_{B}^{2} \Rightarrow 2 v_{B}^{2} = 8 v_{CA}^{2} \Rightarrow \frac{v_{B}}{v_{CA}} = 2$

Solução 1:

Durante a colisão, a distância a S permanece igual a $R_{A}$ .

Do movimento de A: $v_{A}^{2} = \frac{GM}{R_{A}}$

Seja a o semieixo maior da órbita de CA. Pela equação de vis-viva:

$v_{CA}^{2} = GM (\frac{2}{R_{A}} - \frac{1}{a})$

Mas, das respostas dos itens b) e d), sabe-se que $v_{A} > v_{CA}$ , logo:

$\frac{GM}{R_{A}} > GM (\frac{2}{R_{A}} - \frac{1}{a}) \Rightarrow \frac{GM}{a} > \frac{GM}{R_{A}} \Rightarrow a < R_{A}$

Se a colisão ocorre em um extremo da órbita, ou $R_{A} = a + c$ , ou $R_{A} = a - c$ .

Mas, se $a < R_{A}$ , então necessariamente $R_{A} = a + c$ .

Portanto, CA está no apoastro da órbita.

Solução 2:

Dos itens b) e d), tem-se $v_{A} = 0, 75 v_{B}$ e $v_{C A} = 0, 5 v_{B}$ .

Adotando-se o referencial girante, pode-se argumentar que a atração gravitacional feita por S é exatamente o necessário para contrabalancear uma centrífuga de magnitude $\frac{m {(0, 75 v_{B})}^{2}}{R_{A}}$ .

No entanto, esse valor ultrapassa o necessário para contrabalancear uma centrífuga de $\frac{m {(0, 5 v_{B})}^{2}}{R_{A}}$ .

Essa diferença força uma aproximação relativa entre CA e S. Se CA está em um extremo da órbita, mas ainda irá se aproximar mais de sua estrela central, então CA só pode estar no apoastro.

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