Dissertativa 8 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2026

Primeiramente, deve-se notar que $f\left(x\right)=x+\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ é estritamente crescente, por composição de funções estritamente crescentes.

De acordo com o sistema, tem-se que $x=f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)$.

Mas disso conclui-se que $f\left(x\right)=x$, pois:

 $f\left(x\right)>x\Rightarrow f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>x$ (absurdo)

$f\left(x\right)<x\Rightarrow f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)<x$ (absurdo)

Portanto, $x=y=z$.

Agora:

$f\left(x\right)=x+\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=x\Rightarrow \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=0\Rightarrow \sqrt{x^2+1}=1-x$

Cuja única solução é $x=0$.

Logo, a única solução do sistema é $\boxed{(0,0,0)}$.