Questão 27 - 1ª Fase - IME 2026

Sejam:

• ${\overrightarrow{\mathrm{v}}}_{\mathrm{m},\mathrm{M}}$: velocidade de $\mathrm{m}$ em relação a $\mathrm{M}$;
• ${\overrightarrow{\mathrm{v}}}_{\mathrm{M},\mathrm{T}}$: velocidade de $\mathrm{M}$ em relação à Terra;
• ${\overrightarrow{\mathrm{v}}}_{\mathrm{m},\mathrm{T}}$: velocidade de $\mathrm{m}$ em relação à Terra ($\overrightarrow{{\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}}$ e $\overrightarrow{{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}}$ são suas componentes).

No referencial de $\mathrm{M}$, o bloco $\mathrm{m}$ desce fazendo $\alpha$ com a horizontal, o que possibilita o diagrama a seguir:

Da figura:

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}={\mathrm{v}}_{\mathrm{m},\mathrm{M}}\mathrm{sen} \mathrm{\alpha } \\ {\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}={\mathrm{v}}_{\mathrm{m},\mathrm{M}}\cos \mathrm{\alpha }-{\mathrm{v}}_{\mathrm{M},\mathrm{T}} \\ \Rightarrow \tan \mathrm{\beta }=\frac{{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}}\Rightarrow \tan \mathrm{\beta }=\frac{{\mathrm{v}}_{\mathrm{m},\mathrm{M}}\mathrm{sen} \mathrm{\alpha }}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{m},\mathrm{M}}\cos \mathrm{\alpha }-{\mathrm{v}}_{\mathrm{M},\mathrm{T}}} \left(\mathrm{I}\right) \end{gathered}$$

A quantidade de movimento horizontal do sistema começa nula e se conserva:

${\mathrm{Mv}}_{\mathrm{M}}=\mathrm{m}\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{m},\mathrm{M}}\cos \mathrm{\alpha }-{\mathrm{v}}_{\mathrm{M}}\right)\Rightarrow {\mathrm{v}}_{\mathrm{M}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+\mathrm{M}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{m},\mathrm{M}}\cos \mathrm{\alpha } \left(\mathrm{II}\right)$

Substituindo $\left(\mathrm{II}\right)$ em $\left(\mathrm{I}\right)$:

$\tan \mathrm{\beta }=\frac{\mathrm{sen} \mathrm{\alpha }}{\cos \mathrm{\alpha }-{\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+\mathrm{M}}}\cos \mathrm{\alpha }}\Rightarrow \boxed{\tan \mathrm{\beta }=\tan \mathrm{\alpha }\left(1+\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{M}}\right)}$

Vale ressaltar que esse ângulo se mantém constante enquanto $\mathrm{m}$ e $\mathrm{M}$ estiverem em contato.