Questão 26 - 1ª Fase - IME 2026

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Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 26

Objetiva

Um drone quadricóptero de massa m é controlado por seu operador, de forma a executar uma trajetória vertical com aceleração constante para cima. De repente, seus quatro motores falham ao mesmo tempo e param bruscamente. Por conta de sua velocidade vertical já adquirida, o quadricóptero ainda continua sua trajetória para cima após a falha, atingindo ao final uma altura máxima h após $∆ t$ desde a partida do chão. Sabe-se que a força vertical F gerada por cada motor do drone é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade angular $ω$ do mesmo propulsor.

Dados:

massa do drone: $m = 190 g$ ;
altura máxima atingida pelo drone, incluindo aceleração e desaceleração: $h = 9 m$ ;
tempo de voo total do drone desde a saída do chão até atingir a altura máxima: $∆ t = 6 s$ ;
força vertical gerada por cada motor do drone: $F = C_{T} ω^{2}$ ;
constante de proporcionalidade: $C_{T} = 5 \times 10^{- 7} N \cdot s^{2} / {rad}^{2}$ ;
aceleração da gravidade: $g = 10 m / s^{2}$ .

Observação:

considere que os propulsores atinjam suas velocidades angulares instantaneamente assim que comandados.

A velocidade angular dos propulsores imediatamente antes da falha, em rad/s, é

Alternativas

A
$4 \times 10^{3}$
B
$1 \times 10^{6}$
C
$1 \times 10^{3}$
D
$2 \times 10^{3}$
E
$2 \times 10^{6}$

Gabarito:
C

Pela segunda lei de Newton, sendo $a$ a aceleração do drone no primeiro trecho:

$F - mg = ma a = \frac{4 C_{T} ω^{2}}{m} - g (*)$

Lançamento vertical:

Aplicando Torricelli em ambos os trechos:

$\{\begin{cases} v^{2} = 2 ax (I) \\ v^{2} = 2 g (9 - x) (II) \end{cases}$

Equação horária da velocidade em ambos os trechos:

$\{\begin{cases} v = {at}_{1} (III) \\ v = {gt}_{2} (IV) \end{cases}$

De g(III) + a(IV):

$v (a + g) = ag (t_{1} + t_{2}) \Rightarrow v = \frac{6 ag}{a + g} (V)$

Usando (V) em (I):

$\frac{36 a^{2} g^{2}}{{(a + g)}^{2}} = 2 ax \Rightarrow x = \frac{18 {ag}^{2}}{{(a + g)}^{2}} (VI)$

Usando (VI) e (V) em (II):

$\frac{36 a^{2} g^{2}}{{(a + g)}^{2}} = (9 - \frac{18 {ag}^{2}}{{(a + g)}^{2}}) \cdot 2 g \frac{18 a^{2} g}{{(a + g)}^{2}} = 9 - \frac{18 {ag}^{2}}{{(a + g)}^{2}} \frac{18 ag}{a + g} = 9 9 a + 9 g = 18 ag a + g = 2 ag a = \frac{g}{2 g - 1} a = \frac{10}{19} (* *)$

Usando (**) em (*):

$\frac{10 + 190}{19} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 10^{- 7} \cdot ω^{2}}{0, 19} \frac{200}{100} = 20 \cdot 10^{- 7} \cdot ω^{2} ω^{2} = 10^{6} ω = 1 \cdot 10^{3} rad / s$

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