Questão 3 - 1ª Fase - IME 2026

Nota-se que:

${\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}=\mathrm{cis}{\left(\frac{7\mathrm{\pi }}{6}\right)}^{\mathrm{n}}=\mathrm{cis}\left(\frac{7\mathrm{n\pi }}{6}\right)$

${\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}=\mathrm{cis}{\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right)}^{\mathrm{n}}=\mathrm{cis}\left(\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}\right)$

Assim:

${\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}={\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}+2\mathrm{i}$

$\mathrm{cis}\left(\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}\right)-\mathrm{cis}\left(\frac{7\mathrm{n\pi }}{6}\right)=2\mathrm{i}$

Portanto:

$\left\{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}\right)-\cos \left(\frac{7\mathrm{n\pi }}{6}\right)=0\\ \mathrm{sen}\left(\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}\right)-\mathrm{sen}\left(\frac{7\mathrm{n\pi }}{6}\right)=2\end{array}\right.$

Dado que $-1\le \mathrm{sen}\left(\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}\right)\le 1$ e $-1\le \mathrm{sen}\left(\frac{7\mathrm{n\pi }}{6}\right)\le 1$, então, a segunda equação do sistema só será satisfeita no caso em que

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{sen}\left(\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}\right)=1\\ \mathrm{sen}\left(\frac{7\mathrm{n\pi }}{6}\right)=-1\end{array}\right.$

Caso esse em que $\cos \left(\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}\right)=\cos \left(\frac{7\mathrm{n\pi }}{6}\right)=0$, tornando a primeira equação do sistema já satisfeita.

Resolvendo o sistema, em que ${\mathrm{k}}_1, {\mathrm{k}}_2$ são inteiros: 

$\left\{\begin{array}{c}\frac{5\mathrm{n\pi }}{6}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2{\mathrm{k}}_1\mathrm{\pi }\\ \frac{7\mathrm{n\pi }}{6}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+2{\mathrm{k}}_2\mathrm{\pi }\end{array}\right.$

Subtraindo as equações:

$\mathrm{n}=3+6\left({\mathrm{k}}_2-{\mathrm{k}}_1\right)$

No caso de n mínimo natural, ${\mathrm{k}}_2-{\mathrm{k}}_1=0$, de modo que $\boxed{\mathrm{n} = 3}$.

Nota-se que $\mathrm{n} = 3$ é, de fato, solução do sistema.