Questão 44 - 1ª Fase - Einstein 2026

A área do triângulo formado pelos vértices $\mathrm{A}=\left(-1, 4\right)$, $\mathrm{B}=\left(1, -1\right)$ e $\mathrm{C}=\left(\mathrm{k}, 0\right)$ é dada por:

 $\mathrm{Área}=\frac{\left|\mathrm{D}\right|}{2}$, em que $\mathrm{D}=\left|\begin{array}{ccc}-1& 4& 1\\ 1& -1& 1\\ \mathrm{k}& 0& 1\end{array}\right|=1+4\mathrm{k}+\mathrm{k}-4=5\mathrm{k}-3$.

Como a área é 11, então $11=\frac{\left|5\mathrm{k}-3\right|}{2}\Rightarrow \left|5\mathrm{k}-3\right|=22$. Assim, têm-se duas possibilidades:

I. $5\mathrm{k}-3=22\Rightarrow 5\mathrm{k}=25\Rightarrow \mathrm{k}=5$ ou

II. $5\mathrm{k}-3=-22\Rightarrow 5\mathrm{k}=-19\Rightarrow \mathrm{k}=-\frac{19}{5}$ (não convém, já que k é positivo)

A medida do lado do quadrado é a distância entre os pontos  $\mathrm{A}=\left(-1, 4\right)$ e $\mathrm{C}=\left(5, 0\right)$, que é:

${\mathrm{d}}_{\mathrm{AC}}=\sqrt{{\left(5+1\right)}^2+{\left(0-4\right)}^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

Então, a área do quadrado é ${\left(\sqrt{52}\right)}^2=\boxed{52}.$