Dissertativa 4 - 1ª Fase - Einstein 2026

a) O triângulo formado pelos pontos de tangência é equilátero, e cada lado mede:

$\sqrt{{\mathrm{d}}^2+{\mathrm{d}}^2}=\sqrt{2{\mathrm{d}}^2}=\mathrm{d}\sqrt{2}$

Sabendo que $\mathrm{d}=\sqrt{2}$, tem-se:

$\mathrm{lado}=\sqrt{2}·\sqrt{2}=2 \mathrm{cm}$

A área de um triângulo equilátero de lado a é dada por:

$\mathrm{A}=\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{4}$

Substituindo a = 2:

$\boxed{\mathrm{A}=\frac{2^2·\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2}$

b) Na figura 2, considera-se x a distância do vértice do cubo até o centro da base do cilindro. Forma-se um triângulo retângulo entre o vértice do cubo, o centro da base do cilindro e um ponto de tangência. 

Pelo teorema de Pitágoras:

${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{r}}^2={\left(\mathrm{d}\sqrt{2}\right)}^2$

Sabendo que o raio do cilindro é a distância do centro da base até o ponto de tangência e que vale:

$\mathrm{r}=\sqrt{2-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \mathrm{cm}$

Logo, substituindo r e $\mathrm{d}=\sqrt{2}$ no teorema de Pitágoras:

${\mathrm{x}}^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2={\left(\sqrt{2}·\sqrt{2}\right)}^2\iff \mathrm{x}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Calculando o volume do cilindro:

$\mathrm{V}=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$

A altura h é a distância entre os centros das bases do cilindro, que pode ser escrita como:

$\mathrm{h}=4\sqrt{3}-2·\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3} \mathrm{cm}$

Substituindo $\mathrm{r}=\frac{2\sqrt{3}}{3}:$

$\mathrm{V}=\mathrm{\pi }·{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2·\frac{8\sqrt{3}}{3}=\mathrm{\pi }·\frac{4·3}{9}·\frac{8\sqrt{3}}{3}=\boxed{\frac{16\sqrt{3}}{9}\mathrm{\pi }}$